Lezione 08 — Superfici parametriche e integrali superficiali

Modulo: Analisi, Lezione 8 ("Superficie parametriche"), slide per prendere appunti. Le slide della Lezione 7 di analisi (integrali tripli) non sono ancora disponibili: la teoria è in Integrali tripliL'integrale triplo ∫∫∫_E f dx dy dz estende il doppio a regioni dello spazio; ∫∫∫_E 1 = Vol(E), e con f densità dà massa e baricentro. Si calcola per fili (z tra due superfici sopra un dominio piano: ∫∫D(∫ f dz)dx dy) o per strati (fette orizzontali E(z): ∫(∫∫{E(z)} f dx dy)dz). Cambi di variabile: cilindriche (ρ cos θ, ρ sin θ, z), jacobiano ρ; sferiche (ρ sin φ cos θ, ρ sin φ sin θ, ρ cos φ), jacobiano ρ² sin φ. Per i solidi di rotazione: Vol = ∫ π r(z)² dz (strati) oppure 2π x̄ Area (Pappo-Guldino).Integrali tripli →, costruita sugli esercizi dei Ripassi.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Superfici parametriche: definizione e sostegno; nastro di Möbius; superfici cartesiane; coordinate sferiche e parametrizzazione della sfera.
2. Unità 3 - Area di una superficie parametrica: i vettori $p_u$, $p_v$; prodotto vettore e area del parallelogramma; elemento d'area $|p_u \times p_v|$; cilindro, sfera e sue zone, superfici cartesiane (paraboloide, $z = xy$); la tenda e la "parete sotto la montagna russa": $\int_r h\,ds$ come area.
3. Unità 4 - Area di una superficie di rotazione: parametrizzazione, elemento d'area, teorema di Pappo-Guldino (toro, cono), rotazione attorno all'asse $x$.
4. Unità 5 - Integrali superficiali: definizione, superfici cartesiane, invarianza per superfici equivalenti; esercitazioni del 2023 (calotta sopra il cono, cono dentro la sfera).

Teoria

• Superfici parametriche e areaUna superficie parametrica è p : D ⊂ R² → R³ continua, con D chiuso e limitato; il sostegno è p(D). I vettori p_u, p_v sono tangenti alle curve coordinate, e |p_u × p_v| è l'elemento d'area: Area(p) = ∫_D |p_u × p_v| du dv (analogo di L = ∫|r'|). Casi da sapere: cilindro (R cos t, R sin t, z), elemento R; sfera in coordinate sferiche, elemento R² sin φ, area 4πR²; superficie cartesiana (x, y, f(x,y)), elemento √(1 + f_x² + f_y²).Superfici parametriche e area →
• Superfici di rotazione e teorema di Pappo-GuldinoLa "parete" verticale sopra una curva piana r fino all'altezza h ≥ 0 ha area ∫_r h ds: è il significato geometrico dell'integrale curvilineo. Ruotando una curva r(t) = (r₁(t), r₂(t)) del semipiano x ≥ 0 attorno all'asse z si ottiene p(t,θ) = (r₁ cos θ, r₁ sin θ, r₂), con elemento d'area r₁|r'|: Area = 2π ∫_r x ds = 2π x̄ L (Pappo-Guldino: distanza del baricentro dall'asse per lunghezza della curva). Toro: 4π²Ra; cono: π r ℓ.Superfici di rotazione e teorema di Pappo-Guldino →
• Integrali superficialiL'integrale di μ continua su una superficie C¹ p : D → R³ è ∫_p μ dσ = ∫_D μ(p(u,v)) |p_u × p_v| du dv: con μ densità superficiale dà la massa, con μ = 1 l'area. Per una superficie cartesiana z = f(x,y): ∫_D μ(x, y, f(x,y)) √(1 + f_x² + f_y²) dx dy. Non dipende dalla parametrizzazione (superfici equivalenti danno lo stesso integrale). Si sfruttano coordinate sferiche per le sfere, polari per coni e paraboloidi, e le simmetrie.Integrali superficiali →

Esercizi

• Esercizio 32 · aree di superfici parametriche — esercizi 1, 2, 3, 5 (Ripassi 1.30, 1.33), appello del 12/7/2017
• Esercizio 33 · integrali superficiali — esercizi 4, 6, 7, 8 (Ripassi 1.31, 1.32, 1.34-1.36), appelli e compitino 2014