Valore atteso di variabili discrete

Lezione 6 di probabilità, Unità 1-2. Prerequisiti: Variabili binomiale e geometricaIn n prove di Bernoulli indipendenti con successo di probabilità p, il numero di successi X ~ B(n,p) ha P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0,…,n; equivalentemente X è somma di n Bernoulli Be(p) indipendenti. Senza indipendenza (estrazioni senza reimmissione) la somma non è binomiale (legge ipergeometrica). Il numero di prove fino al primo successo X ~ Ge(p) ha P(X = k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, k ≥ 1, e P(X > k) = (1−p)ᵏ; è senza memoria: P(X > k+m | X > k) = P(X > m) (i numeri ritardatari del lotto non sono "più probabili").Variabili binomiale e geometrica →, Variabile di Poisson e approssimazione della binomialeX ~ Po(λ), λ > 0, assume i valori 0, 1, 2, … con P(X = k) = e^{−λ} λᵏ/k!; λ è il numero medio di eventi. Nasce come limite della binomiale: se Xₙ ~ B(n, λ/n) allora P(Xₙ = k) → e^{−λ}λᵏ/k!. In pratica B(n,p) ≈ Po(np) se n è grande e p piccolo (regole del corso: n ≥ 20, p ≤ 0.05, p ≤ 10/n). Modella conteggi di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio: telefonate, arrivi, terremoti, difetti, vincite.Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale →.

La media pesata

Esempio del prof. Uno studente ha $k_1$ voti uguali a $x_1$, …, $k_m$ voti uguali a $x_m$ ($k_1 + \cdots + k_m = n$ voti in tutto). La media è $$\bar x = \frac{k_1x_1 + \cdots + k_mx_m}{n} = x_1\frac{k_1}{n} + \cdots + x_m\frac{k_m}n$$ cioè la somma dei voti, ciascuno moltiplicato per la sua frequenza. Se $X$ è il voto di un esame scelto a caso, la frequenza di $x_i$ è $P(X = x_i)$, e $\bar x = \sum_i x_iP(X = x_i)$.

Definizione. Se $X$ è discreta con valori $\{x_i : i \in I\}$ ($I$ finito o $\mathbb{N}$), $X$ ha valore atteso finito se $\sum_i|x_i|\,p_X(x_i) < +\infty$, e in tal caso il valore atteso (o media, o speranza) è $$E[X] := \sum_{i \in I}x_i\,p_X(x_i) = \sum_i x_i\,P(X = x_i)$$

Interpretazione fisica: se si mettono masse $p_X(x_i)$ (di somma $1$) nei punti $x_i$ della retta, $E[X]$ è il baricentro. Dipende solo dai valori e dalla densità discreta, non dallo spazio $\Omega$. La condizione di convergenza assoluta serve per i valori infiniti: garantisce che la somma non dipenda dall'ordine.

Esempio del prof. $X$ con valori $-1, 0, 1$ e probabilità $\frac13, \frac16, \frac12$: $$E[X] = -1\cdot\frac13 + 0\cdot\frac16 + 1\cdot\frac12 = \frac16$$ Il valore atteso può non essere uno dei valori assunti.

I valori attesi delle variabili notevoli

Legge	$E[X]$
$\operatorname{Be}(p)$	$p$
$B(n, p)$	$np$
$\operatorname{Po}(\lambda)$	$\lambda$
$\operatorname{Ge}(p)$	$\frac1p$

• Bernoulli: $E[X] = 0\cdot(1 - p) + 1\cdot p = p$.
• Poisson: il termine $k = 0$ è nullo, e semplificando $\frac{k}{k!} = \frac{1}{(k-1)!}$: $$E[X] = \sum_{k \ge 1}k\,e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = \lambda\,e^{-\lambda}\sum_{k \ge 1}\frac{\lambda^{k-1}}{(k-1)!} = \lambda\,e^{-\lambda}e^{\lambda} = \lambda$$ Il parametro della Poisson è proprio il numero medio di eventi.
• Geometrica: $E[X] = \sum_{k \ge 1}k\,p(1 - p)^{k-1} = p\sum_{k \ge 1}k\,q^{k-1}$ con $q = 1 - p$, e $\sum_{k \ge 1}kq^{k-1} = \frac{d}{dq}\sum_{k \ge 0}q^k = \frac{d}{dq}\frac{1}{1 - q} = \frac{1}{(1 - q)^2}$ (si deriva la serie geometrica termine a termine, lecito per $|q| < 1$). Quindi $E[X] = \frac{p}{p^2} = \frac1p$. Esempio del prof: per veder comparire il $5$ lanciando un dado servono in media $\frac{1}{1/6} = 6$ lanci.
• Binomiale: $np$, con la linearità (sotto).

Valore atteso di una funzione di $X$

Proposizione. Se $X$ è discreta e $g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, allora $g(X) = g \circ X$ è una v.a. discreta e, se $\sum_x|g(x)|p_X(x) < +\infty$, $$E[g(X)] = \sum_{x \in \operatorname{Im}X}g(x)\,p_X(x)$$

Perché è comodo: non serve calcolare la densità di $g(X)$; si pesano i valori $g(x)$ con le probabilità dei valori $x$ di $X$. (La dimostrazione raggruppa gli $x$ che hanno lo stesso $g(x)$.)

Esempio del prof. Con la $X$ di prima, $E[X^2]$:

• con la definizione: $X^2$ vale $1$ (se $X = \pm1$, probabilità $\frac13 + \frac12 = \frac56$) o $0$ (probabilità $\frac16$), quindi $E[X^2] = \frac56$;
• con la proposizione: $(-1)^2\frac13 + 0^2\frac16 + 1^2\frac12 = \frac56$ ✓.

Attenzione: $E[X^2] = \frac56 \ne (E[X])^2 = \frac1{36}$. In generale $E[g(X)] \ne g(E[X])$.

Corollario (linearità per le funzioni affini). $E[aX + b] = a\,E[X] + b$.

Esempio del prof (l'assicurazione). Una compagnia incassa il premio $c$ e paga $s$ euro se un evento $E$ (di probabilità $p$) si verifica entro l'anno. Con $X = 1$ se $E$ si verifica ($X \sim \operatorname{Be}(p)$), il profitto è $c - sX$, e $$E[\text{profitto}] = c - s\,p$$ Perché il profitto atteso sia il $10\%$ di $s$: $c - sp = 0.1\,s$, cioè $c = s(p + 0.1)$.

Valore atteso di una somma

Proposizione. Se $X_1, \dots, X_m$ hanno valore atteso finito, $$E[X_1 + \cdots + X_m] = E[X_1] + \cdots + E[X_m]$$ senza bisogno di indipendenza.

Corollario. Se $X \sim B(n, p)$, $E[X] = np$.

Dimostrazione. $X$ ha la stessa legge di $X_1 + \cdots + X_n$ con $X_i \sim \operatorname{Be}(p)$, quindi $E[X] = \sum E[X_i] = np$ ∎ (il valore atteso dipende solo dalla legge).

I cappelli

Esempio del prof. $10$ persone lasciano il cappello all'ingresso; all'uscita ognuno ne prende uno a caso. Numero medio di persone che riprendono il proprio?

Sia $X_i = 1$ se la persona $i$ riprende il suo cappello. Il cappello preso da $i$ è uniforme tra i $10$, quindi $X_i \sim \operatorname{Be}\left(\frac1{10}\right)$. Il numero di "fortunati" è $X = X_1 + \cdots + X_{10}$ e $$E[X] = 10\cdot\frac1{10} = 1$$ Le $X_i$ non sono indipendenti (se $9$ persone hanno il proprio cappello, anche la decima ce l'ha), ma per il valore atteso della somma non importa. Il risultato non dipende dal numero di persone: con $n$ persone è sempre $n\cdot\frac1n = 1$. Calcolare la legge di $X$ sarebbe molto più difficile.

Valore atteso di funzioni di più variabili e del prodotto

Proposizione. Se $X$, $Y$ sono discrete e $g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ (con la serie assolutamente convergente), $$E[g(X, Y)] = \sum_{x, y}g(x, y)\,P(X = x, Y = y)$$ In particolare $E[XY] = \sum_{x, y}xy\,P(X = x, Y = y)$, e se $X$, $Y$ sono indipendenti $E[XY] = E[X]\,E[Y]$.

Dimostrazione del caso indipendente. $P(X = x, Y = y) = P(X = x)P(Y = y)$, e la somma doppia si fattorizza: $\sum_x x\,p_X(x)\cdot\sum_y y\,p_Y(y)$ ∎.

L'indipendenza è essenziale. Con $X = Y \sim \operatorname{Be}(p)$: $E[XY] = E[X^2] = E[X] = p$ (perché $X^2 = X$ per una variabile che vale $0$ o $1$), mentre $E[X]E[Y] = p^2 \ne p$ per $p \in\, ]0, 1[$.

Il seguito (varianza e covarianza) è in Varianza e covarianza di variabili discreteVar[X] = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² misura la dispersione attorno alla media μ = E[X]; σ = √Var è la deviazione standard. Var[aX + b] = a² Var[X]; la normalizzata (X − μ)/σ ha media 0 e varianza 1. Varianze notevoli: Be(p) → p(1−p), B(n,p) → np(1−p), Po(λ) → λ, Ge(p) → (1−p)/p². Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y]; variabili indipendenti hanno covarianza nulla, ma non vale il viceversa (X uniforme su {−1,0,1} e X²). Var[X + Y] = Var X + Var Y + 2 Cov[X,Y]: per indipendenti le varianze si sommano.Varianza e covarianza di variabili discrete →. Esercizi: Esercizio 51 · valori attesi, varianze e i cappelli.

Errori comuni

• Scrivere $E[g(X)] = g(E[X])$: vale solo per $g$ affine.
• Pensare che la linearità richieda l'indipendenza: $E[X + Y] = E[X] + E[Y]$ sempre; è $E[XY] = E[X]E[Y]$ che la richiede.
• Confondere il valore atteso con il valore più probabile.