Esercizio 56approssimazione normale di binomiali e Poisson

Testo.

1. (II compitino, 4 febbraio 2015, seguito degli esercizi 49 e 50.) Per il cromosoma mutato ($B(20\,000, 10^{-4})$), è ragionevole approssimare $P(X \le 2)$ con una variabile normale? Di quali parametri?
2. (Appello 4, 2014/15.) Il partito VivaVenezia ha avuto il $18\%$ dei voti; un exit poll intervista $1000$ elettori che votano indipendentemente, e $X$ è il numero di quelli che hanno votato VivaVenezia. Con un'approssimazione normale, stimare la probabilità che la società dichiari per il partito una percentuale sbagliata di almeno un punto percentuale.
3. (Ripassi 3.36 (b).) Approssimando $X \sim B(1000, 0.002)$ con una normale, fornire un valore approssimato di $P(X \le 3)$.
4. (Ripassi 3.38.) Un docente dichiara erroneamente sufficiente una prova incerta con probabilità $\frac15$. Su $37$ prove incerte, probabilità che vengano promosse ingiustamente almeno $5$ persone? Approssimare con una Poisson e con una normale.
5. (Ripassi 3.39.) Una macchina fotografica ordinata online è difettosa con probabilità $3\%$. (a) Probabilità che su $1000$ spedite ve ne siano al più $20$ difettose? Quale variabile si considera? (b) Approssimarla con un'altra variabile discreta; (c) con una continua.
6. (Ripassi 3.42.) Le chiamate a un centralino in un'ora sono una Poisson di media $250$. (a) Probabilità di più di $260$ chiamate? (b) Approssimarla con la normale.
7. (Ripassi 3.44.) Il $35\%$ dell'elettorato è a favore di Pinco Pallino; in una sezione votano $200$ persone scelte a caso e $X$ conta quelle a suo favore. (a) Probabilità che $X \ge 75$; (b) approssimazione con il TCL.

Teoria: Teorema centrale del limite e correzione di continuitàSe X₁, X₂, … sono i.i.d. con media μ e varianza σ², la somma standardizzata (X₁ + ⋯ + Xₙ − nμ)/√(nσ²) tende in distribuzione a N(0,1): P(Sₙ ≤ a) ≈ Φ((a − nμ)/√(nσ²)) per n grande, qualunque sia la legge delle Xᵢ (servono indipendenza e stessa legge). Per la media campionaria: media μ, varianza σ²/n. Casi particolari: B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) per n grande; Po(λ) ≈ N(λ, λ) per λ ≥ 50. Per variabili a valori interi si usa la correzione di continuità: P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0.5), P(X = k) ≈ P(k − 0.5 ≤ Y ≤ k + 0.5).Teorema centrale del limite e correzione di continuità →, Variabile di Poisson e approssimazione della binomialeX ~ Po(λ), λ > 0, assume i valori 0, 1, 2, … con P(X = k) = e^{−λ} λᵏ/k!; λ è il numero medio di eventi. Nasce come limite della binomiale: se Xₙ ~ B(n, λ/n) allora P(Xₙ = k) → e^{−λ}λᵏ/k!. In pratica B(n,p) ≈ Po(np) se n è grande e p piccolo (regole del corso: n ≥ 20, p ≤ 0.05, p ≤ 10/n). Modella conteggi di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio: telefonate, arrivi, terremoti, difetti, vincite.Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale →.

Promemoria: $B(n, p) \approx N(np, np(1 - p))$ se $np$ e $n(1 - p)$ sono grandi; $\operatorname{Po}(\lambda) \approx N(\lambda, \lambda)$ per $\lambda \ge 50$; correzione di continuità per variabili intere. Valori esatti e approssimati calcolati con Python.

1. Il cromosoma: la normale non va bene

$np = 2$ e $np(1 - p) \approx 2$: la media è troppo piccola. La binomiale è fortemente asimmetrica (vale $0$, $1$, $2$ con probabilità $0.135$, $0.271$, $0.271$, e non può essere negativa), mentre una $N(2, 2)$ darebbe probabilità non trascurabile ai valori negativi. Non è ragionevole: qui va usata la Poisson ($n$ grande, $p$ piccolo, $np$ moderato).

2. L'exit poll

$X \sim B(1000, 0.18)$: media $180$, varianza $1000\cdot 0.18\cdot 0.82 = 147.6$, deviazione standard $12.15$. La percentuale stimata è $\frac{X}{1000}$; sbagliare di almeno un punto significa $\left|\frac{X}{1000} - 0.18\right| \ge 0.01$, cioè $|X - 180| \ge 10$, cioè $X \le 170$ oppure $X \ge 190$.

• Senza correzione: $2\left(1 - \Phi\left(\frac{10}{12.15}\right)\right) = 2(1 - \Phi(0.82)) \approx 0.41$.
• Con correzione ($X \le 170 \to Y \le 170.5$, $X \ge 190 \to Y \ge 189.5$): $2\left(1 - \Phi\left(\frac{9.5}{12.15}\right)\right) = 2(1 - \Phi(0.78)) \approx 0.434$, praticamente uguale al valore esatto ($0.434$).

Con $1000$ intervistati l'errore di un punto percentuale capita quasi una volta su due.

3. $B(1000, 0.002)$ e la normale

Media $2$, varianza $1000\cdot 0.002\cdot 0.998 = 1.996$: $$P(X \le 3) \approx \Phi\left(\frac{3.5 - 2}{\sqrt{1.996}}\right) = \Phi(1.06) \approx 0.856$$ Il valore esatto è $0.857$: qui il risultato è buono, ma con $np = 2$ la normale è in generale poco affidabile (vedi il punto 1); la Poisson $\operatorname{Po}(2)$ dà $P(Y \le 3) = e^{-2}\left(1 + 2 + 2 + \frac43\right) \approx 0.857$.

4. Le promozioni ingiuste

$X \sim B\left(37, \frac15\right)$: esatto $P(X \ge 5) \approx 0.888$.

• Poisson con $\lambda = 37\cdot 0.2 = 7.4$: $1 - \sum_{k=0}^{4}e^{-7.4}\frac{7.4^k}{k!} \approx 0.860$ (non eccellente: $p = 0.2$ non è piccolo).
• Normale con media $7.4$ e varianza $37\cdot 0.2\cdot 0.8 = 5.92$: $P(X \ge 5) \approx 1 - \Phi\left(\frac{4.5 - 7.4}{\sqrt{5.92}}\right) = \Phi(1.19) \approx 0.883$ (migliore).

5. Le macchine fotografiche

(a) $X \sim B(1000, 0.03)$: $P(X \le 20) = \sum_{k=0}^{20}\binom{1000}{k}0.03^k\,0.97^{1000-k} \approx 0.0333$.

(b) Poisson $\operatorname{Po}(30)$ ($n$ grande, $p = 0.03$ piccolo): $\sum_{k=0}^{20}e^{-30}\frac{30^k}{k!} \approx 0.0353$.

(c) Normale $N(30, 29.1)$: $\Phi\left(\frac{20.5 - 30}{\sqrt{29.1}}\right) = \Phi(-1.76) \approx 0.039$. Nelle code lontane (qui $1.8$ deviazioni standard sotto la media) l'approssimazione normale è meno precisa.

6. Il centralino

(a) $X \sim \operatorname{Po}(250)$: $P(X > 260) = 1 - \sum_{k=0}^{260}e^{-250}\frac{250^k}{k!} \approx 0.251$ (calcolo al computer).

(b) $\lambda = 250 \ge 50$, quindi $X \approx N(250, 250)$; con la correzione, $X > 260 \iff X \ge 261 \to Y \ge 260.5$: $$P(X > 260) \approx 1 - \Phi\left(\frac{10.5}{\sqrt{250}}\right) = 1 - \Phi(0.66) \approx 0.253$$

7. Pinco Pallino

(a) $X \sim B(200, 0.35)$: $P(X \ge 75) = \sum_{k=75}^{200}\binom{200}{k}0.35^k\,0.65^{200-k} \approx 0.251$.

(b) Media $70$, varianza $200\cdot 0.35\cdot 0.65 = 45.5$, deviazione standard $6.75$: $$P(X \ge 75) \approx 1 - \Phi\left(\frac{74.5 - 70}{6.75}\right) = 1 - \Phi(0.67) \approx 0.252$$

Riepilogo: quale approssimazione

Errori comuni

• Usare la normale con $np$ piccolo.
• Sbagliare il verso della correzione (per $X \ge 190$ si usa $189.5$, per $X \le 170$ si usa $170.5$).