Flusso di un campo attraverso una superficie

Lezione 9 di analisi (slide non ancora disponibili; la nota segue i problemi d'esame sul flusso). Prerequisiti: Superfici parametriche e areaUna superficie parametrica è p : D ⊂ R² → R³ continua, con D chiuso e limitato; il sostegno è p(D). I vettori p_u, p_v sono tangenti alle curve coordinate, e |p_u × p_v| è l'elemento d'area: Area(p) = ∫_D |p_u × p_v| du dv (analogo di L = ∫|r'|). Casi da sapere: cilindro (R cos t, R sin t, z), elemento R; sfera in coordinate sferiche, elemento R² sin φ, area 4πR²; superficie cartesiana (x, y, f(x,y)), elemento √(1 + f_x² + f_y²).Superfici parametriche e area →, Integrali superficialiL'integrale di μ continua su una superficie C¹ p : D → R³ è ∫_p μ dσ = ∫_D μ(p(u,v)) |p_u × p_v| du dv: con μ densità superficiale dà la massa, con μ = 1 l'area. Per una superficie cartesiana z = f(x,y): ∫_D μ(x, y, f(x,y)) √(1 + f_x² + f_y²) dx dy. Non dipende dalla parametrizzazione (superfici equivalenti danno lo stesso integrale). Si sfruttano coordinate sferiche per le sfere, polari per coni e paraboloidi, e le simmetrie.Integrali superficiali →, Campi vettoriali, campi radiali e campi gradienteUn campo vettoriale è F : D ⊆ Rⁿ → Rⁿ (a ogni punto un vettore: velocità di un fluido, forza). Radiale: F(x) = g(|x|) x/|x| (diretto come il raggio, intensità dipendente solo dalla distanza), come i campi gravitazionale ed elettrico K x/|x|³. Gradiente: F = ∇U con U ∈ C¹ (U è una primitiva; in fisica il potenziale è −U); su un aperto connesso le primitive differiscono per una costante. Ogni campo radiale continuo è gradiente, con primitiva G(|x|) dove G' = g.Campi vettoriali, campi radiali e campi gradiente →.

L'idea

Se $F$ è il campo delle velocità di un fluido, il flusso attraverso una superficie è la quantità di fluido che la attraversa nell'unità di tempo. Conta solo la componente di $F$ perpendicolare alla superficie (un fluido che scorre parallelo alla superficie non la attraversa), e il segno dipende da quale lato della superficie si considera "positivo": serve un'orientazione.

Definizione

Una superficie parametrica $p : D \to \mathbb{R}^3$ di classe $C^1$ con $p_u \times p_v \ne 0$ ha in ogni punto il vettore normale $N = p_u \times p_v$ (perpendicolare ai due vettori tangenti) e il versore normale $n = \frac{N}{|N|}$. Scegliere la parametrizzazione (o l'ordine di $u$ e $v$) significa scegliere da che parte punta $N$: l'orientazione.

Definizione. Il flusso del campo continuo $F$ attraverso la superficie $p$, orientata da $N = p_u \times p_v$, è $$\Phi = \iint_p F\cdot n\,d\sigma = \iint_D F(p(u, v))\cdot\big(p_u \times p_v\big)(u, v)\,du\,dv$$

(Nella seconda forma il fattore $|p_u \times p_v|$ dell'elemento d'area si semplifica con quello del versore.) Invertendo l'orientazione il flusso cambia segno.

Grafici. Per $z = f(x, y)$, $(x, y) \in D$, con $p(x, y) = (x, y, f(x, y))$: $N = (-f_x, -f_y, 1)$, che ha terza componente positiva, cioè punta verso l'alto. Quindi $$\Phi_{\text{alto}} = \iint_D\big(-F_1f_x - F_2f_y + F_3\big)\,dx\,dy$$ con $F$ calcolato in $(x, y, f(x, y))$.

Esempi dagli appelli

Appello 1, 2014/15. Flusso di $F = (x, y, 2(1 - z))$ attraverso la superficie $z = 1 - x^2 - y^2$, $x^2 + y^2 \le 1$, orientata verso l'alto. Con $f = 1 - x^2 - y^2$: $f_x = -2x$, $f_y = -2y$, $N = (2x, 2y, 1)$, e sulla superficie $2(1 - z) = 2(x^2 + y^2)$: $$F\cdot N = 2x^2 + 2y^2 + 2(x^2 + y^2) = 4(x^2 + y^2), \qquad \Phi = \int_0^{2\pi}\int_0^1 4\rho^2\,\rho\,d\rho\,d\theta = 2\pi$$ (risposta e).

Appello 3, 2014/15. Flusso di $F = (1,\ z\,e^{yz},\ y\,e^{yz})$ attraverso il quadrato $\{z = 0,\ x, y \in [0, 2]\}$ con la normale verso l'alto. Il quadrato è un grafico con $f = 0$, $N = (0, 0, 1)$, e conta solo $F_3 = y\,e^{0} = y$: $$\Phi = \int_0^2\int_0^2 y\,dy\,dx = 2\cdot 2 = 4$$ (Lo stesso campo è conservativo, con potenziale $x + e^{yz}$: il flusso è un'altra cosa rispetto agli integrali curvilinei.)

Appello 4, 2015/16. Flusso uscente di $F = (x, y, 0)$ dalla superficie del cubo $[0, 1]^3$. Si somma sulle sei facce, ciascuna con la normale esterna:

• faccia $x = 1$, normale $(1, 0, 0)$: $F\cdot n = x = 1$, contributo $1$ (area $1$);
• faccia $x = 0$, normale $(-1, 0, 0)$: $F\cdot n = -x = 0$;
• facce $y = 1$ e $y = 0$: analogamente $1$ e $0$;
• facce $z = 0$ e $z = 1$: $F_3 = 0$, contributo $0$.

Flusso uscente totale: $2$.

Un controllo: il teorema della divergenza

Per una superficie chiusa che delimita un solido $E$, orientata verso l'esterno, vale il teorema della divergenza (di Gauss): $$\iint_{\partial E}F\cdot n\,d\sigma = \iiint_E\operatorname{div}F\,dx\,dy\,dz, \qquad \operatorname{div}F = \partial_xF_1 + \partial_yF_2 + \partial_zF_3$$ Per il cubo: $\operatorname{div}(x, y, 0) = 2$ e $\iiint_{[0,1]^3}2 = 2$ ✓, lo stesso risultato del calcolo faccia per faccia. È l'analogo in tre dimensioni della formula di GreenFormula di Green: se D è un dominio regolare del piano e ∂⁺D il suo bordo orientato positivamente (con D a sinistra: antiorario sul bordo esterno, orario sui buchi), allora ∮_{∂⁺D} P dx + Q dy = ∫∫_D (∂ₓQ − ∂ᵧP) dx dy. Trasforma una circuitazione in un integrale doppio (e viceversa). Area(D) = ∮ x dy = −∮ y dx = ½ ∮ (x dy − y dx): l'area racchiusa da una curva si calcola dalla sua parametrizzazione. Per campi irrotazionali su D senza buchi la circuitazione è nulla.Formula di Green e calcolo di aree → (che in forma "di flusso" si scrive $\oint_{\partial^+D}(F_1\,dy - F_2\,dx) = \iint_D\operatorname{div}F$).

Errori comuni

• Usare $|p_u \times p_v|$ invece del vettore $p_u \times p_v$: il flusso usa il prodotto scalare con il normale.
• Non controllare l'orientazione richiesta dal testo (verso l'alto, uscente…).
• Dimenticare di sostituire la superficie nel campo (per esempio $z = 1 - x^2 - y^2$ dentro $2(1 - z)$).