Esercizio 22punti critici con hessiana degenere

Testo.

1. (Lezione 4, esercitazione.) Determinare i punti critici di $f(x, y) = x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2$ e la loro natura.
2. (Lezione 4, esercizio 4.) Sia $f(x, y) = y^2\big(x^2 - (y - 1)^2\big)$. (i) Trovarne i punti critici; (ii) studiare i punti critici $(a, b)$ con $b \ne 0$; (iii) (più difficile) studiare i punti critici del tipo $(a, 0)$ (suggerimento: $f(x, y) = y^2 g(x, y)$, $g(x, y) = \dots$).
3. (Ripassi 2025/26, esercizio 1.14.) Studiare la natura di $(0, 0)$ come punto critico di $f(x, y) = x^3 + x^4 - y^4$.
4. (Ripassi 2025/26, esercizio 1.15.) Studiare la natura dei punti critici di $f(x, y) = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 + 3$.

Teoria: Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessianaRegola di Fermat: in un punto interno di massimo o minimo locale, dove f è derivabile, ∇f(p) = 0 (punto critico). Non vale il viceversa: x² − y² ha in (0,0) un punto di sella. Per f ∈ C² in un punto critico interno, criterio dell'hessiana in due variabili: det Hess > 0 e f_xx > 0 → minimo locale stretto; det > 0 e f_xx < 0 → massimo locale stretto; det < 0 → sella; det = 0 → il criterio non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴) e si studia il segno di f(x) − f(p) direttamente.Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessiana → (paragrafo "Quando l'hessiana non dice nulla").

Quando $\det\operatorname{Hess}f(p) = 0$ si studia il segno di $f - f(p)$ vicino a $p$: restrizioni con segni opposti → sella; una disuguaglianza valida in tutto un intorno → estremo.

1. $x^4 + y^4 - 2x^2 + 4xy - 2y^2$

Sistema. $$\partial_x f = 4x^3 - 4x + 4y = 0, \qquad \partial_y f = 4y^3 + 4x - 4y = 0$$ Sommando le due equazioni (i termini lineari si cancellano): $4x^3 + 4y^3 = 0$, cioè $y^3 = -x^3$, cioè $y = -x$. Sostituendo nella prima: $4x^3 - 4x - 4x = 4x(x^2 - 2) = 0$, quindi $x = 0$ o $x = \pm\sqrt2$. Punti critici: $(0, 0)$, $(\sqrt2, -\sqrt2)$, $(-\sqrt2, \sqrt2)$.

Hessiana. $\operatorname{Hess}f = \begin{pmatrix} 12x^2 - 4 & 4 \\ 4 & 12y^2 - 4 \end{pmatrix}$.

• $(\pm\sqrt2, \mp\sqrt2)$: $\begin{pmatrix} 20 & 4 \\ 4 & 20 \end{pmatrix}$, $\det = 384 > 0$, $f_{xx} > 0$: minimi locali stretti, con $f = 4 + 4 - 4 - 8 - 4 = -8$. Sono minimi assoluti ($f \to +\infty$ all'infinito).
• $(0, 0)$: $\begin{pmatrix} -4 & 4 \\ 4 & -4 \end{pmatrix}$, $\det = 16 - 16 = 0$: il criterio non decide.

Studio di $(0, 0)$, dove $f(0, 0) = 0$. Si cercano restrizioni con segni diversi:

• sull'asse $x$ ($y = 0$): $f = x^4 - 2x^2 = x^2(x^2 - 2) < 0$ per $0 < |x| < \sqrt2$;
• sulla bisettrice $y = x$: $f = 2x^4 - 2x^2 + 4x^2 - 2x^2 = 2x^4 > 0$ per $x \ne 0$.

In ogni intorno dell'origine $f$ assume valori positivi e negativi: sella. (La bisettrice $y = x$ è la direzione in cui la forma quadratica $-4h^2 + 8hk - 4k^2 = -4(h - k)^2$ si annulla: lì decide il termine di quarto grado, positivo.)

2. $y^2\big(x^2 - (y - 1)^2\big)$

(i) Punti critici. $$\partial_x f = 2xy^2, \qquad \partial_y f = 2y\big(x^2 - (y - 1)^2\big) - 2y^2(y - 1)$$ $\partial_x f = 0$ dà $x = 0$ oppure $y = 0$.

• $y = 0$: anche $\partial_y f = 0$ (ogni termine contiene $y$). Quindi tutti i punti $(a, 0)$ dell'asse $x$ sono critici.
• $x = 0$, $y \ne 0$: $\partial_y f = -2y(y - 1)^2 - 2y^2(y - 1) = -2y(y - 1)\big[(y - 1) + y\big] = -2y(y - 1)(2y - 1)$, nullo per $y = 1$ o $y = \frac12$.

Punti critici: l'asse $x$, più $(0, 1)$ e $(0, \frac12)$.

(ii) I punti con $b \ne 0$. Derivate seconde: $f_{xx} = 2y^2$, $f_{xy} = 4xy$, e $f_{yy}$ si ottiene dallo sviluppo $f = x^2y^2 - y^4 + 2y^3 - y^2$: $f_{yy} = 2x^2 - 12y^2 + 12y - 2$.

• $(0, 1)$: $f_{xx} = 2$, $f_{xy} = 0$, $f_{yy} = -12 + 12 - 2 = -2$; $\det = -4 < 0$: sella.
• $(0, \frac12)$: $f_{xx} = \frac12$, $f_{xy} = 0$, $f_{yy} = -3 + 6 - 2 = 1$; $\det = \frac12 > 0$, $f_{xx} > 0$: minimo locale stretto, $f(0, \frac12) = \frac14\left(0 - \frac14\right) = -\frac{1}{16}$.

(iii) I punti $(a, 0)$. Lì $f = 0$ e l'hessiana è $\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 2a^2 - 2 \end{pmatrix}$, con $\det = 0$: serve il segno di $f$. Scriviamo $f = y^2\,g(x, y)$ con $g(x, y) = x^2 - (y - 1)^2$. Siccome $y^2 \ge 0$, il segno di $f$ è quello di $g$ (dove $y \ne 0$), e $g$ è continua con $g(a, 0) = a^2 - 1$.

• $|a| > 1$: $g(a, 0) > 0$, e per la permanenza del segno $g > 0$ in un intorno; lì $f = y^2 g \ge 0 = f(a, 0)$: minimo locale (non stretto: $f = 0$ su tutto l'asse).
• $|a| < 1$: $g(a, 0) < 0$, quindi $g < 0$ vicino ad $(a, 0)$ e $f \le 0$: massimo locale (non stretto).
• $|a| = 1$: $g(\pm1, 0) = 0$. In ogni intorno di $(1, 0)$ ci sono punti $(1 + \varepsilon, \varepsilon)$ con $g = (1 + \varepsilon)^2 - (\varepsilon - 1)^2 = 4\varepsilon$, positivo per $\varepsilon > 0$ e negativo per $\varepsilon < 0$, e lì $y = \varepsilon \ne 0$: $f$ assume entrambi i segni. Sella (lo stesso per $(-1, 0)$).

3. $x^3 + x^4 - y^4$ in $(0, 0)$

$\nabla f = (3x^2 + 4x^3,\ -4y^3)$ è nullo in $(0, 0)$; l'hessiana $\begin{pmatrix} 6x + 12x^2 & 0 \\ 0 & -12y^2 \end{pmatrix}$ è nulla nell'origine: il criterio non decide. Sull'asse $x$: $f(x, 0) = x^3(1 + x)$, che per $x$ piccolo ha il segno di $x^3$: positiva a destra, negativa a sinistra. Sella. (Anche l'asse $y$ basterebbe in coppia con l'asse $x$ positivo: $f(0, y) = -y^4 < 0$.)

4. $x^4 + 2x^2y^2 + y^4 + 3$

Si riconosce un quadrato: $x^4 + 2x^2y^2 + y^4 = (x^2 + y^2)^2$, quindi $f = (x^2 + y^2)^2 + 3$, funzione radiale.

Punti critici. $\nabla f = 2(x^2 + y^2)\cdot(2x, 2y) = 4(x^2 + y^2)(x, y)$, nullo solo in $(0, 0)$. L'hessiana in $(0,0)$ è nulla (i termini sono tutti di quarto grado), quindi il criterio non decide, ma $$f(x, y) - f(0, 0) = (x^2 + y^2)^2 > 0 \quad \text{per } (x, y) \ne (0, 0)$$ $(0, 0)$ è minimo assoluto stretto, con valore $3$.

Errori comuni

• Concludere "sella" o "minimo" da $\det = 0$ senza studiare il segno di $f - f(p)$.
• Nell'esercizio 2, cercare solo punti isolati: l'asse $x$ è un'intera retta di punti critici, di natura diversa a seconda di $|a|$.
• Credere che i minimi locali siano sempre stretti: sull'asse $x$ dell'esercizio 2 non lo sono.