Esercizio 33integrali superficiali

Testo.

1. (Lezione 8, esercizio 4; Ripassi 1.32.) Si fa ruotare la curva $x = \cos z$, $y = 0$, $-\pi/2 \le z \le \pi/2$ attorno all'asse $z$. (a) Dare una parametrizzazione della superficie $p$ ottenuta. (b) Calcolare $\int_p\sqrt{1 - x^2 - y^2}\,d\sigma_p$.
2. (Lezione 8, esercizio 6; Ripassi 1.34.) Calcolare $\int_p z\,d\sigma_p$ dove $p$ è la superficie $x = y^2 + z^2$ con $x \le 2$.
3. (Lezione 8, esercizio 7; Ripassi 1.35.) Calcolare $\int_p x^2z\,d\sigma_p$ dove $p$ è la superficie $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ con $z \ge \sqrt{x^2 + y^2}$.
4. (Lezione 8, esercizio 8; Ripassi 1.36.) Calcolare $\int_p xz\,d\sigma_p$ dove $p$ è la parte del piano $z + x - 3 = 0$ interna al cilindro $x^2 + y^2 = 1$.
5. (Ripassi 1.31.) Calcolare $\int_\Sigma z\,d\sigma$ dove $\Sigma$ è la parte di superficie sferica $x^2 + y^2 + z^2 = 4$ con $z \in [1, 2]$.
6. (Appelli.) (a) Calcolare $\int_p\sqrt{1 + x^2 + y^2}\,d\sigma_p$ dove $p(u, v) = (u\cos v, u\sin v, v)$, $u \in [0, 1]$, $v \in [0, \pi]$ (4/2016-17). (b) Integrare $x^2$ sulla superficie $z = \sqrt{x^2 + y^2}$, $0 \le z \le 1$ (4/2018-19 e 3/2017-18). (c) Sia $\Sigma$ la superficie cartesiana $z = x^2 + y^2$, con $x^2 + y^2 - y \le 0$, $x \ge 0$. Calcolare $\int_\Sigma\frac{x}{\sqrt{4z + 1}}\,d\sigma$ (I compitino 2014).
7. (Appello 4, 2017/18.) Si consideri la superficie cartesiana $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ tra i piani $z = 1$ e $z = 2$. Calcolare l'integrale di $\frac1{z^2}$ su tale superficie.

Teoria: Integrali superficialiL'integrale di μ continua su una superficie C¹ p : D → R³ è ∫_p μ dσ = ∫_D μ(p(u,v)) |p_u × p_v| du dv: con μ densità superficiale dà la massa, con μ = 1 l'area. Per una superficie cartesiana z = f(x,y): ∫_D μ(x, y, f(x,y)) √(1 + f_x² + f_y²) dx dy. Non dipende dalla parametrizzazione (superfici equivalenti danno lo stesso integrale). Si sfruttano coordinate sferiche per le sfere, polari per coni e paraboloidi, e le simmetrie.Integrali superficiali →.

La formula: $\int_p\mu\,d\sigma = \int_D\mu(p(u, v))\,|p_u \times p_v|\,du\,dv$.

1. La superficie di rotazione di $x = \cos z$

(a) Il punto $(\cos z, 0, z)$ ruota attorno all'asse $z$ su un cerchio di raggio $\cos z \ge 0$: $$p(z, \theta) = (\cos z\cos\theta,\ \cos z\sin\theta,\ z), \qquad z \in \left[-\frac\pi2, \frac\pi2\right],\ \theta \in [0, 2\pi]$$ (ha la forma di un "fuso" o di una botte, con le punte sui poli $(0, 0, \pm\frac\pi2)$).

(b) Elemento d'area. Per una superficie di rotazione è $r_1|r'|$, con $r(z) = (\cos z, z)$: $r_1 = \cos z$, $|r'| = \sqrt{\sin^2 z + 1}$. Quindi $d\sigma = \cos z\sqrt{1 + \sin^2 z}\,dz\,d\theta$.

La funzione sulla superficie: $x^2 + y^2 = \cos^2 z$, quindi $\sqrt{1 - x^2 - y^2} = \sqrt{\sin^2 z} = |\sin z|$.

$$\int_p = \int_0^{2\pi}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}|\sin z|\cos z\sqrt{1 + \sin^2 z}\,dz\,d\theta = 2\pi\cdot 2\int_0^{\pi/2}\sin z\cos z\sqrt{1 + \sin^2 z}\,dz$$ (l'integranda è pari in $z$). Con $s = \sin^2 z$, $ds = 2\sin z\cos z\,dz$: $$4\pi\int_0^1\frac{\sqrt{1 + s}}{2}\,ds = 2\pi\cdot\frac23\Big[(1 + s)^{3/2}\Big]_0^1 = \frac{4\pi\left(2\sqrt2 - 1\right)}{3} \approx 7.66$$

2. $\int z\,d\sigma$ sul paraboloide $x = y^2 + z^2$, $x \le 2$

È un paraboloide con asse l'asse $x$, simmetrico rispetto al piano $z = 0$: se $(x, y, z)$ sta sulla superficie, ci sta anche $(x, y, -z)$, e l'elemento d'area è lo stesso nei due punti. La funzione $z$ è dispari rispetto a quel piano. Quindi $$\int_p z\,d\sigma = 0$$ Con i conti: parametrizzando $p(\rho, t) = (\rho^2, \rho\cos t, \rho\sin t)$, $\rho \in [0, \sqrt2]$, l'elemento è $\rho\sqrt{1 + 4\rho^2}$ (indipendente da $t$) e $\int_0^{2\pi}\sin t\,dt = 0$.

3. $\int x^2z\,d\sigma$ sulla calotta sopra il cono

Sfera di raggio $2$ in coordinate sferiche, elemento $4\sin\varphi$; sopra il cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ significa $\varphi \in [0, \frac\pi4]$. Con $x = 2\sin\varphi\cos\theta$, $z = 2\cos\varphi$: $$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/4}4\sin^2\varphi\cos^2\theta\cdot 2\cos\varphi\cdot 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 32\underbrace{\int_0^{2\pi}\cos^2\theta\,d\theta}_{\pi}\int_0^{\pi/4}\sin^3\varphi\cos\varphi\,d\varphi$$ $$= 32\pi\left[\frac{\sin^4\varphi}{4}\right]_0^{\pi/4} = 32\pi\cdot\frac{1/4}{4} = 2\pi$$ (perché $\sin^4\frac\pi4 = \left(\frac12\right)^2 = \frac14$).

4. $\int xz\,d\sigma$ sul piano dentro il cilindro

Il piano è il grafico di $f(x, y) = 3 - x$ sopra il disco unitario $D$. Elemento $\sqrt{1 + f_x^2 + f_y^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt2$; sulla superficie $xz = x(3 - x)$: $$\int_p xz\,d\sigma = \sqrt2\int_D(3x - x^2)\,dx\,dy = \sqrt2\left(0 - \frac\pi4\right) = -\frac{\sqrt2\,\pi}{4}$$ ($\int_D x = 0$ per simmetria; $\int_D x^2 = \int_0^{2\pi}\cos^2 t\,dt\int_0^1\rho^3\,d\rho = \frac\pi4$).

5. $\int z\,d\sigma$ sulla calotta $z \in [1, 2]$

Sfera di raggio $2$: $z = 2\cos\varphi \ge 1 \iff \cos\varphi \ge \frac12 \iff \varphi \in [0, \frac\pi3]$. Elemento $4\sin\varphi$: $$\int_0^{2\pi}\int_0^{\pi/3}2\cos\varphi\cdot 4\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta = 16\pi\left[\frac{\sin^2\varphi}2\right]_0^{\pi/3} = 16\pi\cdot\frac{3/4}{2} = 6\pi$$

6. Dagli appelli

(a) L'elicoide $p(u, v) = (u\cos v, u\sin v, v)$: è la superficie spazzata da un segmento orizzontale che sale ruotando (una scala a chiocciola). $$p_u = (\cos v, \sin v, 0), \quad p_v = (-u\sin v, u\cos v, 1), \quad p_u \times p_v = (\sin v,\ -\cos v,\ u), \quad |p_u \times p_v| = \sqrt{1 + u^2}$$ Sulla superficie $\sqrt{1 + x^2 + y^2} = \sqrt{1 + u^2}$, e il prodotto con l'elemento dà $1 + u^2$: $$\int_0^\pi\int_0^1(1 + u^2)\,du\,dv = \pi\left(1 + \frac13\right) = \frac{4\pi}{3}$$

(b) $x^2$ sul cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$, $0 \le z \le 1$ (cioè $\rho \le 1$), con elemento $\sqrt2\,\rho$: $$\int_0^{2\pi}\int_0^1\rho^2\cos^2 t\cdot\sqrt2\,\rho\,d\rho\,dt = \sqrt2\cdot\pi\cdot\frac14 = \frac{\sqrt2\,\pi}{4}$$

(c) Il compitino del 2014. Per $z = x^2 + y^2$ l'elemento d'area è $\sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2} = \sqrt{1 + 4z}$: si semplifica esattamente con il denominatore! Resta $$\int_\Sigma\frac{x}{\sqrt{4z + 1}}\,d\sigma = \int_{D}x\,dx\,dy, \qquad D = \{x^2 + y^2 \le y,\ x \ge 0\}$$ $D$ è la metà destra del disco di centro $(0, \frac12)$ e raggio $\frac12$: in polari $0 \le \rho \le \sin t$, $t \in [0, \frac\pi2]$: $$\int_0^{\pi/2}\int_0^{\sin t}\rho\cos t\cdot\rho\,d\rho\,dt = \int_0^{\pi/2}\cos t\,\frac{\sin^3 t}{3}\,dt = \left[\frac{\sin^4 t}{12}\right]_0^{\pi/2} = \frac{1}{12}$$ (risposta a).

7. $\int\frac1{z^2}\,d\sigma$ sul tronco di cono (appello 2017/18)

Parametrizzazione. Il cono $z = \sqrt{x^2 + y^2}$ in coordinate cilindriche: $p(r, \theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta,\ r)$, con $z = r \in [1, 2]$ e $\theta \in [0, 2\pi]$.

Elemento d'area. $p_r = (\cos\theta, \sin\theta, 1)$, $p_\theta = (-r\sin\theta, r\cos\theta, 0)$: $$p_r \times p_\theta = (-r\cos\theta,\ -r\sin\theta,\ r), \qquad |p_r \times p_\theta| = \sqrt{r^2 + r^2} = \sqrt2\,r$$ (lo stesso si ottiene dalla formula cartesiana: il gradiente di $\sqrt{x^2 + y^2}$ ha norma $1$, quindi $\sqrt{1 + |\nabla z|^2} = \sqrt2$, da moltiplicare per lo jacobiano polare $r$).

Integrale. Sulla superficie $z = r$, quindi $\frac1{z^2} = \frac1{r^2}$: $$\int_0^{2\pi}\int_1^2\frac1{r^2}\,\sqrt2\,r\,dr\,d\theta = 2\pi\sqrt2\int_1^2\frac{dr}{r} = 2\sqrt2\,\pi\log2 \approx 6.159$$

Errori comuni

• Calcolare per esteso un integrale nullo per simmetria (esercizio 2): guardare sempre le simmetrie prima.
• Non accorgersi della semplificazione tra integranda ed elemento d'area (esercizi 6a e 6c): i testi d'esame sono spesso costruiti così.