Esercizio 63formula di Green e aree dai Ripassi e dagli appelli

Testo.

1. (Ripassi 1.39.) Sia $\vec F(x, y) = \left(\dfrac{e^x}{\sqrt{1 + x^2}},\ 2x\right)$ e $D = \{0 < x < 1,\ \sinh x < y < \sinh 1\}$. Determinare l'integrale di $\vec F$ sul bordo di $D$, orientato in senso antiorario.
2. (Ripassi 1.40.) Calcolare l'area della regione delimitata dalla curva $\gamma(t) = (\sin(2t), \sin t)$, $t \in [0, \pi]$.
3. (Ripassi 1.42.) Sia $\Gamma$ il bordo positivamente orientato del parallelogramma di vertici $(1, 4)$, $(-1, 2)$, $(-1, -1)$, $(1, 1)$. Calcolare $\oint_\Gamma xy^2\,dx + (1 - xy^3)\,dy$.
4. (Ripassi 1.44.) Determinare l'area del quadrilatero di vertici $(3, 2)$, $(4, 5)$, $(-1, 4)$, $(-2, 1)$.
5. (Ripassi 1.45.) Calcolare l'area racchiusa dalla lumaca descritta in coordinate polari da $\rho(t) = 2\cos t + 2$, $t \in [0, 2\pi]$.
6. (Appello 4, 2018/19, A2.) Rifare con la formula di Green il calcolo dell'integrale di $\vec F(x, y) = (6y + x,\ y + 2x)$ sul bordo del disco $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 \le 4$ orientato in senso antiorario.

Teoria: Formula di Green e calcolo di areeFormula di Green: se D è un dominio regolare del piano e ∂⁺D il suo bordo orientato positivamente (con D a sinistra: antiorario sul bordo esterno, orario sui buchi), allora ∮_{∂⁺D} P dx + Q dy = ∫∫_D (∂ₓQ − ∂ᵧP) dx dy. Trasforma una circuitazione in un integrale doppio (e viceversa). Area(D) = ∮ x dy = −∮ y dx = ½ ∮ (x dy − y dx): l'area racchiusa da una curva si calcola dalla sua parametrizzazione. Per campi irrotazionali su D senza buchi la circuitazione è nulla.Formula di Green e calcolo di aree →.

La formula: $\oint_{\partial^+D}P\,dx + Q\,dy = \iint_D(\partial_xQ - \partial_yP)\,dx\,dy$; per le aree $\operatorname{Area} = \oint x\,dy = \frac12\oint(x\,dy - y\,dx)$. Risultati verificati con Python.

1. Il campo con $\frac{e^x}{\sqrt{1 + x^2}}$

Calcolare direttamente sarebbe impossibile ($\frac{e^x}{\sqrt{1 + x^2}}$ non ha primitiva elementare), ma con Green la prima componente sparisce: dipende solo da $x$, quindi $\partial_yP = 0$; e $\partial_xQ = 2$. Quindi l'integrale è $2\operatorname{Area}(D)$: $$2\int_0^1(\sinh 1 - \sinh x)\,dx = 2\big(\sinh 1 - (\cosh 1 - 1)\big) = 2(1 - e^{-1})$$ (con $\sinh 1 - \cosh 1 = -e^{-1}$).

2. La regione delimitata da $(\sin 2t, \sin t)$

Per $t \in [0, \pi]$ la curva parte e torna nell'origine ($\gamma(0) = \gamma(\pi) = (0, 0)$), con $y = \sin t \ge 0$: è una curva chiusa semplice nel semipiano superiore, che sale dall'origine a $(0, 1)$ passando a destra dell'asse $y$ e ridiscende a sinistra. Con $\operatorname{Area} = \left|\int x\,dy\right|$: $$\int_0^\pi\sin 2t\cdot\cos t\,dt = \int_0^\pi 2\sin t\cos^2t\,dt = \left[-\frac{2\cos^3t}{3}\right]_0^\pi = \frac43$$ (positivo: la curva è percorsa in senso antiorario). $\operatorname{Area} = \frac43$.

Attenzione: per $t \in [0, \frac\pi2]$ la $x = \sin 2t$ è positiva, per $t \in [\frac\pi2, \pi]$ negativa: la regione è simmetrica rispetto all'asse $y$, e ciascuna metà ha area $\frac23$.

3. Il parallelogramma

I lati stanno sulle rette $x = \pm1$, $y = x$ (da $(-1, -1)$ a $(1, 1)$) e $y = x + 3$ (da $(-1, 2)$ a $(1, 4)$): $D = \{-1 \le x \le 1,\ x \le y \le x + 3\}$. Con $P = xy^2$, $Q = 1 - xy^3$: $\partial_xQ - \partial_yP = -y^3 - 2xy$. $$\oint_\Gamma = \int_{-1}^1\int_x^{x+3}(-y^3 - 2xy)\,dy\,dx = -\frac{107}{2}$$ (integrando in $y$: $-\frac{(x+3)^4 - x^4}{4} - x\left((x + 3)^2 - x^2\right)$, poi in $x$). Calcolarlo direttamente richiederebbe quattro integrali curvilinei.

4. L'area del quadrilatero

Per un poligono di vertici $(x_1, y_1), \dots, (x_n, y_n)$ in senso antiorario, $\frac12\oint(x\,dy - y\,dx)$ calcolata lato per lato (su un segmento da $(x_i, y_i)$ a $(x_{i+1}, y_{i+1})$ l'integrale di $x\,dy - y\,dx$ vale $x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i$) dà la formula di Gauss (del laccio): $$\operatorname{Area} = \frac12\left|\sum_{i=1}^n(x_iy_{i+1} - x_{i+1}y_i)\right|$$ Con i vertici in ordine $(3, 2), (4, 5), (-1, 4), (-2, 1)$: $$\frac12\big|(15 - 8) + (16 + 5) + (-1 + 8) + (-4 - 3)\big| = \frac12|7 + 21 + 7 - 7| = 14$$

5. La lumaca (cardioide)

$\rho = 2(1 + \cos t)$ è una cardioide. In polari $x\,dy - y\,dx = \rho^2\,dt$, quindi $$\operatorname{Area} = \frac12\int_0^{2\pi}4(1 + \cos t)^2\,dt = 2\int_0^{2\pi}(1 + 2\cos t + \cos^2t)\,dt = 2(2\pi + 0 + \pi) = 6\pi$$ (in accordo con la formula $\frac{3\pi a^2}2$ per $\rho = a(1 + \cos t)$, con $a = 2$).

6. Il cerchio dell'appello 2018/19 con Green

$\partial_xQ - \partial_yP = 2 - 6 = -4$, costante: $$\oint\vec F\cdot dr = -4\cdot\operatorname{Area}(\text{disco di raggio } 2) = -4\cdot 4\pi = -16\pi$$ lo stesso risultato del calcolo diretto nell'esercizio 25, in una riga.

Errori comuni

• Ordinare i vertici del poligono a caso: la formula del laccio richiede l'ordine lungo il bordo.
• Dimenticare il valore assoluto quando il verso di percorrenza non è noto.