Differenziabilità, piano tangente e linearizzazione

Lezione 3 di analisi, Unità 3. Prerequisiti: Gradiente e direzione di massima crescitaIl gradiente è il vettore delle derivate parziali ∇f(p) = (∂₁f(p), …, ∂ₙf(p)). Se f è C¹ (derivate parziali continue) vale la formula del gradiente D_u f(p) = ∇f(p)·u: tutte le derivate direzionali si ottengono dalle parziali e u ↦ D_u f(p) è lineare. Tra i versori, la crescita è massima lungo ∇f/|∇f| (pendenza |∇f|), minima lungo −∇f/|∇f| (pendenza −|∇f|), nulla lungo le direzioni ortogonali al gradiente. Utili: ∇|x| = x/|x|, ∇φ(|x|) = φ'(|x|) x/|x|.Gradiente e direzione di massima crescita →.

In una variabile, una funzione derivabile vicino a $p$ assomiglia alla sua retta tangente. In più variabili la richiesta analoga è che il grafico assomigli a un piano (per $n = 2$), il piano tangente. Le derivate direzionali non bastano a garantirlo: serve la differenziabilità.

Spazio tangente

Da dove viene. Sia $f$ di classe $C^1$ attorno a $p$ e $u \in \mathbb{R}^n$. La curva $$\gamma(t) := \big(p + tu,\ f(p + tu)\big)$$ ha il sostegno dentro il grafico di $f$ (è la sezione del grafico sopra la retta per $p$ di direzione $u$). Il suo vettore tangente in $t = 0$ è, componente per componente, $$\gamma'(0) = \big(u,\ D_u f(p)\big) = \big(u,\ \nabla f(p)\cdot u\big)$$ Al variare di $u$ questi vettori tangenti formano uno spazio: lo spazio tangente.

Definizione. Se $f$ ha derivate parziali in $p$, lo spazio tangente al grafico di $f$ in $(p, f(p))$ è $$\{(p, f(p)) + (u,\ \nabla f(p)\cdot u) : u \in \mathbb{R}^n\} = \{(x, z) : z = f(p) + \nabla f(p)\cdot(x - p)\}$$

Per $n = 2$, con $p = (x_0, y_0)$, è il piano tangente $$z = f(x_0, y_0) + f_x(x_0, y_0)\,(x - x_0) + f_y(x_0, y_0)\,(y - y_0)$$

Esempio del prof. Piano tangente a $z = f(x, y) = x\cos y - y\,e^x$ in $(0, \pi, f(0, \pi))$.

• $f(0, \pi) = 0\cdot\cos\pi - \pi\,e^0 = -\pi$;
• $f_x = \cos y - y\,e^x$, in $(0, \pi)$: $\cos\pi - \pi = -1 - \pi$;
• $f_y = -x\sin y - e^x$, in $(0, \pi)$: $0 - 1 = -1$.

$$z = -\pi + (-1 - \pi)(x - 0) + (-1)(y - \pi) \iff z = -(1 + \pi)\,x - y$$ (il $-\pi$ e il $+\pi$ si cancellano: il piano passa per l'origine).

Differenziabilità

Definizione. $f$ è differenziabile in $p$ se ha derivate parziali in $p$ e $$f(x) = f(p) + \nabla f(p)\cdot(x - p) + R(x), \qquad \lim_{x \to p}\frac{R(x)}{|x - p|} = 0$$ La funzione affine $L(x) := f(p) + \nabla f(p)\cdot(x - p)$ è la linearizzazione di $f$ in $p$.

In parole: l'errore $R(x) = f(x) - L(x)$ che si commette sostituendo $f$ con il suo spazio tangente è trascurabile rispetto alla distanza da $p$, qualunque sia la direzione da cui ci si avvicina. È la stessa idea dell'o-piccolof ~ g per x → x0 se f/g tende a 1, f = o(g) se tende a 0; le relazioni dipendono da x0. Regole di calcolo con gli o-piccoli e gerarchia delle funzioni infinite per x → +∞: log < potenze < esponenziali < x^x.Asintoticità e o-piccolo per funzioni →: $R(x) = o(|x - p|)$.

Proposizione. Se $f$ è di classe $C^1$ attorno a $p$, allora $f$ è differenziabile in $p$.

È il criterio che si usa quasi sempre: per le funzioni date da formule elementari, la differenziabilità è automatica dove le derivate parziali sono continue.

Esempio del prof: quale delle due è differenziabile nell'origine? $f(x, y) = x^2 + y^2$ e $g(x, y) = \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$ (con $g(0,0) = 0$). Entrambe hanno gradiente nullo nell'origine, quindi il candidato piano tangente è $z = 0$ e bisogna vedere se $\frac{f}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ e $\frac{g}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ tendono a $0$.

• $\frac{x^2 + y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \sqrt{x^2 + y^2} \to 0$: $f$ è differenziabile (del resto è $C^1$).
• Per $g$ la tabella (simile a quella del prof, ricalcolata con Python) mostra punti vicinissimi all'origine in cui il rapporto è grande:

Sulla parabola $y = x^2$ si ha $g = \frac12$, quindi $\frac{g}{\sqrt{x^2 + y^2}} \approx \frac{1}{2|x|} \to +\infty$: $g$ non è differenziabile (e infatti non è nemmeno continua).

Conseguenze della differenziabilità

Proposizione 1. Se $f$ è differenziabile in $p$, allora $f$ è continua in $p$.

Dimostrazione. $f(x) = f(p) + \nabla f(p)\cdot(x - p) + \frac{R(x)}{|x - p|}\,|x - p|$. Per $x \to p$: $\nabla f(p)\cdot(x - p) \to 0$ (per Cauchy-Schwarz è in modulo $\le |\nabla f(p)|\,|x - p|$), e $\frac{R(x)}{|x - p|}\cdot|x - p| \to 0\cdot 0 = 0$. Quindi $f(x) \to f(p)$ ∎.

Proposizione 2 (formula del gradiente). Se $f$ è differenziabile in $p$, allora per ogni $u \in \mathbb{R}^n$ $$D_u f(p) = \nabla f(p)\cdot u$$

Dimostrazione. Si sceglie $x = p + tu$ (con $u \ne 0$) nella definizione: $$\frac{f(p + tu) - f(p)}{t} = \frac{\nabla f(p)\cdot tu + R(p + tu)}{t} = \nabla f(p)\cdot u + \frac{R(p + tu)}{|tu|}\cdot\frac{|t|\,|u|}{t}$$ L'ultimo termine tende a $0$ (il primo fattore tende a $0$, il secondo vale $\pm|u|$, limitato) ∎.

Lo schema delle implicazioni: $$f \in C^1 \implies f \text{ differenziabile} \implies \begin{cases} f \text{ continua} \\ D_u f(p) = \nabla f(p)\cdot u \text{ (lineare in } u) \end{cases} \implies \text{esistono tutte le } D_u f(p)$$ Nessuna freccia si inverte. Le due conseguenze danno due test negativi: se $f$ non è continua in $p$, oppure se $u \mapsto D_u f(p)$ non è lineare, allora $f$ non è differenziabile.

Come si verifica la differenziabilità in un punto

Per una funzione definita a pezzi, nel punto "speciale" $p$:

1. Continuità in $p$: se manca, $f$ non è differenziabile.
2. Derivate parziali in $p$ con la definizione (rapporto incrementale lungo gli assi). Se una non esiste, non è differenziabile.
3. (Facoltativo) Derivate direzionali: se $u \mapsto D_u f(p)$ non è della forma $\nabla f(p)\cdot u$, non è differenziabile.
4. Il limite decisivo: $$\lim_{h \to 0}\frac{f(p + h) - f(p) - \nabla f(p)\cdot h}{|h|} = 0\,?$$ Se sì è differenziabile, altrimenti no. Di solito si studia con le stime o le coordinate polari della nota sui limitiPer dimostrare che un limite NON esiste: si trovano due restrizioni (rette y = mx, parabole y = kx², …) con limiti diversi. Per dimostrare che ESISTE: stima uniforme |f(x) − ℓ| ≤ h(x) con h → 0 (utile |xy| ≤ (x² + y²)/2), oppure coordinate polari con una stima |f(p + ρ(cos t, sin t)) − ℓ| ≤ h(ρ) indipendente da t, oppure incollamento di limiti uguali su pezzi che ricoprono il dominio. Il limite uguale su tutte le rette NON basta.Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polari →.

Esempio del prof. $f(x, y) = \frac{x^2y}{x^2 + y^2}$, $f(0,0) = 0$.

1. Continua: $|f| \le |y| \to 0$.
2. $f(t, 0) = 0$ e $f(0, t) = 0$, quindi $\partial_x f(0,0) = \partial_y f(0,0) = 0$.
3. $D_u f(0,0) = \lim_{t \to 0}\frac1t\cdot\frac{t^3u_1^2u_2}{t^2(u_1^2 + u_2^2)} = \frac{u_1^2u_2}{u_1^2 + u_2^2}$. Se fosse differenziabile, sarebbe $\nabla f(0,0)\cdot u = 0$ per ogni $u$; invece per $u = (1, 1)$ vale $\frac12$. Non è differenziabile (pur essendo continua e con tutte le derivate direzionali).

Altri esempi (tra cui $\frac{\sin^2(xy)}{x^2 + y^2}$, che invece è differenziabile) nell'Esercizio 17 · continuità, derivate direzionali e differenziabilità nell'origine e nell'Esercizio 18 · altri casi di differenziabilità nell'origine.

La linearizzazione per le stime

Per $x$ vicino a $p$: $f(x) \approx f(p) + \nabla f(p)\cdot(x - p)$, cioè $$\Delta f \approx f_{x_1}\,\Delta x_1 + \cdots + f_{x_n}\,\Delta x_n$$ (il differenziale): ogni variabile contribuisce alla variazione di $f$ con la sua derivata parziale per il suo incremento.

Esempio del prof. $f(x, y, z) = x^3 + 5x\,e^y\cos z$, con $f(1, 0, \pi) = 1 + 5\cdot 1\cdot(-1) = -4$. Quanto vale $f(1.01, -0.01, \pi + 0.01)$?

• $f_x = 3x^2 + 5e^y\cos z$, in $(1, 0, \pi)$: $3 - 5 = -2$;
• $f_y = 5x\,e^y\cos z$: $-5$;
• $f_z = -5x\,e^y\sin z$: $-5\sin\pi = 0$.

$$L(x, y, z) = -4 - 2(x - 1) - 5y + 0\cdot(z - \pi)$$ $$f(1.01, -0.01, \pi + 0.01) \approx -4 - 2(0.01) - 5(-0.01) = -4 - 0.02 + 0.05 = -3.97$$ (il valore esatto, calcolato con Python, è $-3.9692$).

Volume di un gas perfetto. $V(T, P) = nR\frac TP$. Se $T \to T + \Delta T$ e $P \to P + \Delta P$: $$\Delta V \approx \frac{\partial V}{\partial T}\Delta T + \frac{\partial V}{\partial P}\Delta P = \frac{nR}{P}\,\Delta T - \frac{nRT}{P^2}\,\Delta P$$ Il volume cresce con la temperatura e diminuisce con la pressione, e la formula dice di quanto, in prima approssimazione.

Le lattine. Lattine con $r_0 = 2.9$ cm e $h_0 = 14.5$ cm, volume $V = \pi r^2h$. Errori di produzione $\Delta r$ e $\Delta h$: $$\Delta V \approx 2\pi r_0h_0\,\Delta r + \pi r_0^2\,\Delta h = 84.1\pi\,\Delta r + 8.41\pi\,\Delta h \approx 264.2\,\Delta r + 26.4\,\Delta h \ (\text{cm}^3)$$ Un errore sul raggio pesa 10 volte di più dello stesso errore sull'altezza (il rapporto $\frac{2\pi r_0h_0}{\pi r_0^2} = \frac{2h_0}{r_0} = 10$): per lattine strette e lunghe conviene controllare bene il raggio.

Errori comuni

• Dedurre la differenziabilità dall'esistenza delle derivate parziali (o di tutte le direzionali): serve il limite del resto.
• Dimenticare di dividere per $|h|$ nel limite decisivo: che $f(p + h) - f(p) - \nabla f(p)\cdot h \to 0$ è vero per ogni funzione continua, non dice nulla.
• Usare lo stratagemma per le derivate parziali nel punto speciale di una funzione definita a pezzi.