Esercizio 12limiti con stime uniformi e coordinate polari

Testo (Esercizi per venerdì, settimana 2 dell'a.a. 2025/26).

1. Definire $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ attorno a $(0, 0)$ in tre settori con espressioni diverse: $$f(x, y) = \begin{cases} y & \text{se } x \ge 0,\ y \ge 0 \\ x^2 + y^2 & \text{se } x < 0,\ y \ge 0 \\ \dfrac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}} & \text{se } y < 0 \end{cases} \qquad f(0, 0) = 0$$ Mostrare che tutte e tre le espressioni hanno lo stesso limite in $(0, 0)$ e concludere che $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x, y)$ esiste e vale $0$.
2. Dimostrare che esiste il limite $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^2y}{x^2 + y^2}$ e calcolarlo.
3. Dimostrare che esiste il limite $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}\sqrt{x^2 + y^2}\,\sin\left(\frac{1}{x^2 + y^2}\right)$ e calcolarlo.
4. Dimostrare che esiste il limite $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{\sin(xy)}{x}$ e calcolarlo.
5. Dimostrare che esiste il limite $\displaystyle\lim_{(x,y) \to (0,0)}\frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}$ e calcolarlo.

Teoria: Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polariPer dimostrare che un limite NON esiste: si trovano due restrizioni (rette y = mx, parabole y = kx², …) con limiti diversi. Per dimostrare che ESISTE: stima uniforme |f(x) − ℓ| ≤ h(x) con h → 0 (utile |xy| ≤ (x² + y²)/2), oppure coordinate polari con una stima |f(p + ρ(cos t, sin t)) − ℓ| ≤ h(ρ) indipendente da t, oppure incollamento di limiti uguali su pezzi che ricoprono il dominio. Il limite uguale su tutte le rette NON basta.Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polari →.

In tutti i casi il metodo è la stima uniformeSi maggiora il modulo di f − ℓ con una funzione h che tende a 0 e che non dipende dalla direzione da cui ci si avvicina al punto.: si trova $h$ con $|f(x, y) - \ell| \le h(x, y)$ e $h \to 0$. Indichiamo $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ (la distanza dall'origine), che tende a $0$.

1. La funzione a tre settori

I tre settori $D_1 = \{x \ge 0, y \ge 0\}$, $D_2 = \{x < 0, y \ge 0\}$, $D_3 = \{y < 0\}$ ricoprono il piano, e l'origine è di accumulazione per ciascuno. Per l'incollamentoSe il limite vale lo stesso ℓ su ogni pezzo di una suddivisione finita del dominio, allora il limite di f è ℓ. basta mostrare che il limite su ogni settore è $0$.

• Su $D_1$: $f = y$, polinomio continuo, quindi tende a $0$. Come stima: $|y| \le r \to 0$.
• Su $D_2$: $f = x^2 + y^2 = r^2 \to 0$.
• Su $D_3$: con la stima $|xy| \le \frac12(x^2 + y^2) = \frac{r^2}2$, $$\left|\frac{xy}{\sqrt{x^2 + y^2}}\right| \le \frac{r^2/2}{r} = \frac r2 \to 0$$

Tutti e tre i limiti valgono $0$, quindi $\lim_{(x,y) \to (0,0)}f(x, y) = 0$. Siccome $f(0, 0) = 0$, la funzione è anche continua nell'origine.

2. $\dfrac{x^2y}{x^2 + y^2}$

$$\left|\frac{x^2y}{x^2 + y^2}\right| = \frac{x^2}{x^2 + y^2}\cdot|y| \le 1\cdot|y| \le r \to 0$$ Il primo fattore è $\le 1$ perché il numeratore $x^2$ è un pezzo del denominatore $x^2 + y^2$. Limite $= 0$.

In coordinate polari: $\rho\cos^2 t\sin t$, in modulo $\le \rho$, stessa conclusione.

3. $\sqrt{x^2 + y^2}\,\sin\dfrac{1}{x^2 + y^2}$

Il seno non ha limite quando il suo argomento $\frac1{r^2} \to +\infty$ (oscilla tra $-1$ e $1$), quindi non si può usare l'algebra dei limiti. Però è limitato: $$\left|r\sin\frac{1}{r^2}\right| \le r\cdot 1 = r \to 0$$ "Limitata per infinitesima fa infinitesima". Limite $= 0$.

4. $\dfrac{\sin(xy)}{x}$

Dominio: $\{x \ne 0\}$, il piano senza l'asse $y$. L'origine è di accumulazione (ci si arriva lungo l'asse $x$, per esempio).

Stima. Si usa $|\sin u| \le |u|$ per ogni $u \in \mathbb{R}$ (il seno sta sempre sotto la bisettrice in modulo): $$\left|\frac{\sin(xy)}{x}\right| \le \frac{|xy|}{|x|} = |y| \to 0$$ Limite $= 0$.

Un'altra strada: dove $y \ne 0$, $\frac{\sin(xy)}{x} = y\cdot\frac{\sin(xy)}{xy}$, con $\frac{\sin(xy)}{xy} \to 1$ (perché $xy \to 0$) e $y \to 0$; dove $y = 0$ la funzione vale $0$. La stima evita di separare i casi.

5. $\dfrac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}$

In coordinate polari $x = \rho\cos t$, $y = \rho\sin t$: $$\frac{\rho^3(\cos^3 t - \sin^3 t)}{\rho^2} = \rho\,(\cos^3 t - \sin^3 t)$$ e per la disuguaglianza triangolare $|\cos^3 t - \sin^3 t| \le |\cos t|^3 + |\sin t|^3 \le 2$. Quindi $$\left|\frac{x^3 - y^3}{x^2 + y^2}\right| \le 2\rho = h(\rho) \to 0$$ con $h$ che non dipende da $t$. Limite $= 0$.

Senza polari: $|x^3| = x^2|x| \le x^2\,r$ e $|y^3| \le y^2\,r$, quindi $|x^3 - y^3| \le (x^2 + y^2)\,r$ e la frazione in modulo è $\le r$. (Stima anche migliore: $1\cdot r$ invece di $2r$.)

Riepilogo delle stime usate

Errori comuni

• Dire "$\sin\frac1{r^2}$ non ha limite, quindi il limite non esiste": il prodotto di una funzione limitata per una infinitesima ha limite $0$.
• Usare $\sin(xy) \sim xy$ dimenticando i punti con $y = 0$, dove non si può dividere per $xy$.