Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati

Lezione 4 di analisi, Unità 3. Prerequisiti: Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessianaRegola di Fermat: in un punto interno di massimo o minimo locale, dove f è derivabile, ∇f(p) = 0 (punto critico). Non vale il viceversa: x² − y² ha in (0,0) un punto di sella. Per f ∈ C² in un punto critico interno, criterio dell'hessiana in due variabili: det Hess > 0 e f_xx > 0 → minimo locale stretto; det > 0 e f_xx < 0 → massimo locale stretto; det < 0 → sella; det = 0 → il criterio non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴) e si studia il segno di f(x) − f(p) direttamente.Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessiana →, Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in RnUn intorno di p è un insieme che contiene una palla centrata in p. p è interno a D se una palla B(p,δ[ sta tutta in D; D è aperto se ogni suo punto è interno, chiuso se il complementare è aperto. La frontiera ∂D è fatta dai punti i cui intorni toccano sia D sia il complementare; la chiusura è D ∪ ∂D, il più piccolo chiuso che contiene D. Unioni qualsiasi e intersezioni finite di aperti sono aperte.Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn →, Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno →.

Il teorema di Weierstrass

Teorema (Weierstrass). Sia $D \subseteq \mathbb{R}^n$ chiuso e limitato (compatto) e $f : D \to \mathbb{R}$ continua. Allora $f$ ha massimo e minimo assoluti su $D$.

È la generalizzazione del teorema di WeierstrassTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo → su $[a, b]$. Tutte e tre le ipotesi servono:

• $D$ non chiuso: $f(x, y) = x$ sul disco aperto non ha massimo (si avvicina a $1$ senza raggiungerlo);
• $D$ non limitato: $f(x, y) = x$ su $\mathbb{R}^2$ non ha né massimo né minimo;
• $f$ non continua: può "saltare" proprio dove dovrebbe stare il massimo.

Esempi del prof.

• $f(x, y) = xy(4 - x - y)$ sul triangolo $T = \{x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 4\}$: $T$ è chiuso (definito con $\le$ e $\ge$ da funzioni continue) e limitato (sta nel quadrato $[0, 4]^2$), $f$ è un polinomio: massimo e minimo esistono.
• $f(x, y) = \log(x^2y^2 + 1)\sin(xy)$ su tutto $\mathbb{R}^2$: il dominio non è limitato e il teorema non si applica. Infatti lungo l'iperbole $xy = \frac\pi2 + 2k\pi$ si ha $\sin(xy) = 1$ e $f = \log(1 + (xy)^2)$, che cresce senza limite con $k$: non c'è massimo (e analogamente non c'è minimo).

Come si trovano massimo e minimo su un compatto

Sia $D$ compatto e $f$ continua su $D$, con derivate parziali nell'interno. Un punto di massimo (o minimo) assoluto $p$:

• o è interno a $D$, e allora per Fermat è un punto critico;
• o sta sul bordo $\partial D$, e allora è in particolare un punto di massimo (minimo) di $f$ ristretta al bordo.

Metodo.

1. Candidati interni: i punti critici di $f$ nell'interno di $D$ (non serve classificarli con l'hessiana!).
2. Candidati sul bordo: si parametrizza ogni pezzo del bordo con una curva $\gamma(t)$ e si cercano massimo e minimo della funzione di una variabile $t \mapsto f(\gamma(t))$, compresi gli estremi dei pezzi (i "vertici").
3. Confronto: il massimo assoluto è il più grande dei valori di $f$ nei candidati, il minimo assoluto il più piccolo.

Esempio 1: $f(x, y) = xy - 3x$ sulla regione $x^2 \le y \le 9$

Il dominio. È la regione tra la parabola $y = x^2$ (sotto) e la retta $y = 9$ (sopra); si incontrano in $x = \pm3$. È chiuso e limitato ($|x| \le 3$, $0 \le y \le 9$), e $f$ è un polinomio: per Weierstrass massimo e minimo esistono.

1. Interno. $\nabla f = (y - 3,\ x) = (0, 0) \iff (x, y) = (0, 3)$. È interno? $0^2 = 0 < 3 < 9$: sì. $f(0, 3) = 0$.

2. Bordo, in due pezzi:

• segmento superiore $y = 9$, $x \in [-3, 3]$: $f(x, 9) = 9x - 3x = 6x$, crescente; valori estremi $f(-3, 9) = -18$ e $f(3, 9) = 18$;
• arco di parabola $y = x^2$, $x \in [-3, 3]$: $g(x) = f(x, x^2) = x^3 - 3x$, con $g'(x) = 3x^2 - 3 = 0 \iff x = \pm1$. Valori: $g(1) = -2$, $g(-1) = 2$, e agli estremi $g(3) = 18$, $g(-3) = -18$ (gli stessi vertici di prima).

3. Confronto. Candidati e valori:

Massimo assoluto $18$ in $(3, 9)$, minimo assoluto $-18$ in $(-3, 9)$.

Esempio 2: il profitto delle palline da golf

$f(x, y) = 48x + 96y - x^2 - 2xy - 9y^2$ sul rettangolo $R = [0, 50]\times[0, 25]$ (compatto: massimo e minimo esistono).

Interno. $\nabla f = (48 - 2x - 2y,\ 96 - 2x - 18y) = 0$ dà il sistema $x + y = 24$, $x + 9y = 48$. Sottraendo: $8y = 24$, $y = 3$, $x = 21$. Il punto $(21, 3)$ è interno al rettangolo, e $$f(21, 3) = 1008 + 288 - 441 - 126 - 81 = 648$$

Perché è il massimo senza studiare il bordo. L'hessiana è costante: $$\operatorname{Hess}f = \begin{pmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -18 \end{pmatrix}, \qquad \det = 36 - 4 = 32 > 0, \quad f_{xx} = -2 < 0$$ definita negativa in ogni punto: $f$ è un paraboloide rovesciato (concavo), e il suo unico punto critico è il massimo assoluto su tutto il piano, quindi anche su $R$. (Con Python, valutando $f$ su una griglia fitta di $R$, il massimo è proprio $648$ in $(21, 3)$; il minimo, $-5825$, è nel vertice $(50, 25)$.)

Risposta: vendere $21\,000$ palline con $3$ ore di pubblicità al mese, per un profitto di $648\,000$ euro.

Esempio 3: $f(x, y) = x^2 + y^2 - 2y + 1$ sul disco chiuso di raggio $2$

Completando il quadrato $f = x^2 + (y - 1)^2$: è il quadrato della distanza dal punto $(0, 1)$. Allora, senza conti:

• minimo $0$ in $(0, 1)$, che sta nel disco;
• massimo nel punto del disco più lontano da $(0, 1)$, cioè $(0, -2)$ (sul bordo, dalla parte opposta): $f(0, -2) = 9$.

Con il metodo. Interno: $\nabla f = (2x, 2y - 2) = 0 \iff (0, 1)$, $f = 0$. Bordo $(2\cos t, 2\sin t)$: $f = 4 - 4\sin t + 1 = 5 - 4\sin t$, che varia tra $1$ (per $t = \frac\pi2$, punto $(0, 2)$) e $9$ (per $t = \frac{3\pi}2$, punto $(0, -2)$). Confronto: minimo $0$, massimo $9$ ✓.

Esempio 4: il pacco postale

$f(x, y) = xy(4 - x - y)$ su $T = \{x \ge 0, y \ge 0, x + y \le 4\}$, dove $z = 4 - x - y$ è il terzo lato.

• Bordo: sui tre lati del triangolo uno dei fattori $x$, $y$, $4 - x - y$ si annulla, quindi $f = 0$ su tutto $\partial T$.
• Interno ($x, y > 0$, $x + y < 4$): $\partial_x f = y(4 - x - y) - xy = y(4 - 2x - y)$ e $\partial_y f = x(4 - x - 2y)$. Con $x, y > 0$ si può dividere: $2x + y = 4$ e $x + 2y = 4$, da cui $x = y = \frac43$, interno. $f\left(\frac43, \frac43\right) = \frac{16}{9}\cdot\frac43 = \frac{64}{27} \approx 2.37$.
• Confronto: dentro $T$ si ha $f \ge 0$, quindi il minimo è $0$ (su tutto il bordo) e il massimo è $\frac{64}{27}$ in $\left(\frac43, \frac43\right)$.

Il pacco di volume massimo ha $x = y = z = \frac43$: è un cubo.

Esempio 5: la scatola senza coperchio (dalla presentazione del corso)

Con $12$ m² di cartone si costruisce una scatola a parallelepipedo senza coperchio di lati $x, y$ (base) e $z$ (altezza). Superficie: $xy + 2xz + 2yz = 12$, quindi $z = \frac{12 - xy}{2(x + y)}$ e il volume è $$V(x, y) = xyz = \frac{xy\,(12 - xy)}{2(x + y)}, \qquad x, y > 0,\ xy < 12$$ Risolvendo $\nabla V = 0$ (con Python) l'unico punto critico è $(2, 2)$, con hessiana $\begin{pmatrix} -1 & -1/2 \\ -1/2 & -1 \end{pmatrix}$ ($\det = \frac34 > 0$, $V_{xx} < 0$): massimo. Quindi $x = y = 2$ m, $z = \frac{12 - 4}{8} = 1$ m, volume $4$ m³. (Il dominio qui non è compatto; che sia il massimo assoluto si vede perché $V \to 0$ avvicinandosi al bordo del dominio, dove $x$, $y$ o $z$ tendono a $0$.)

Altri esempi d'esame (il disco riscaldato, il triangolo con l'arcotangente, il parallelogramma) nell'Esercizio 23 · massimi e minimi assoluti su compatti.

Errori comuni

• Dimenticare i vertici del bordo: sono gli estremi degli intervalli delle funzioni di una variabile, e spesso sono proprio lì massimo e minimo.
• Classificare i punti critici con l'hessiana quando si cercano gli estremi assoluti su un compatto: è inutile, basta confrontare i valori.
• Prendere punti critici fuori dal dominio come candidati.
• Applicare Weierstrass a domini non limitati o non chiusi.