Esercizio 24integrali curvilinei di funzioni e baricentri

Testo.

1. (Lezione 5, esercizio 1.) Sia $f(x, y, z) = \sqrt z$; $\gamma(t) = (\cos t, \sin t, t^2)$, $t \in [0, \pi]$. Calcolare $\int_\gamma f\,ds$.
2. (Lezione 5, esercizio 2; Ripassi 1.18.) Considerando il pezzo $r$ di cardioide definito in coordinate polari da $\rho(t) = 1 + \cos t$, $t \in [0, \pi]$, calcolare $\int_r y\,ds$. (Suggerimento: per calcolare l'integrale scrivere tutto in funzione di $\sin(t/2)$ e di $\cos(t/2)$.)
3. (Lezione 5, esercizio 3; Ripassi 1.17.) Sia $r : [-\pi, \pi] \to \mathbb{R}^2$ l'arco di cicloide definito da $r(t) := (t + \sin t,\ 1 + \cos t)$. (i) Calcolare la lunghezza di $r$; (ii) calcolare l'integrale curvilineo $\int_r y^2\,ds$.

Teoria: Integrale curvilineo di una funzioneL'integrale curvilineo di una funzione continua μ su una curva C¹ r : [a,b] → Rⁿ è ∫_r μ ds = ∫ₐᵇ μ(r(t)) |r'(t)| dt ("ds = |r'(t)| dt"). Con μ = densità lineare dà la massa di un filo; con μ = 1 la lunghezza. Il baricentro è (∫ x μ ds)/(∫ μ ds), coordinata per coordinata. Si estende ai cammini (curve C¹ a tratti) sommando sui pezzi; non dipende dal verso di percorrenza né dalla parametrizzazione.Integrale curvilineo di una funzione →, Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →.

La formula: $\int_r \mu\,ds = \int_a^b\mu(r(t))\,|r'(t)|\,dt$. In ogni caso: (1) velocità $r'(t)$ e sua norma; (2) $\mu$ calcolata sulla curva; (3) integrale in $t$.

1. $\sqrt z$ sull'elica che sale con $t^2$

1. $\gamma'(t) = (-\sin t,\ \cos t,\ 2t)$, $|\gamma'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 4t^2} = \sqrt{1 + 4t^2}$.
2. Sulla curva $z = t^2$, quindi $\sqrt z = \sqrt{t^2} = t$ (perché $t \ge 0$).
3. $$\int_\gamma\sqrt z\,ds = \int_0^\pi t\sqrt{1 + 4t^2}\,dt$$ Il fattore $t$ è (a meno di una costante) la derivata di $1 + 4t^2$, che vale $8t$: è un integrale quasi immediatoDella forma g'(t)·g(t)^α, con primitiva g^(α+1)/(α+1); qui serve solo aggiustare la costante 8.: $$\int t\,(1 + 4t^2)^{1/2}\,dt = \frac18\cdot\frac{(1 + 4t^2)^{3/2}}{3/2} = \frac{(1 + 4t^2)^{3/2}}{12}$$ $$\int_\gamma\sqrt z\,ds = \frac{(1 + 4\pi^2)^{3/2} - 1}{12} \approx 21.38$$ (confermato con Python).

2. $y$ sulla mezza cardioide

La curva. $r(t) = \rho(t)(\cos t, \sin t) = (1 + \cos t)(\cos t, \sin t)$; per $t \in [0, \pi]$ è la metà superiore della cardioide, da $(2, 0)$ all'origine.

1. La velocità. Per le curve polari $|r'(t)| = \sqrt{\rho^2 + \rho'^2}$, con $\rho' = -\sin t$: $$\rho^2 + \rho'^2 = 1 + 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2(1 + \cos t) = 4\cos^2\frac t2$$ (con $1 + \cos t = 2\cos^2\frac t2$). Per $t \in [0, \pi]$, $\frac t2 \in [0, \frac\pi2]$ e $\cos\frac t2 \ge 0$: $|r'(t)| = 2\cos\frac t2$.

2. La funzione sulla curva, seguendo il suggerimento: $$y = (1 + \cos t)\sin t = 2\cos^2\frac t2\cdot 2\sin\frac t2\cos\frac t2 = 4\cos^3\frac t2\,\sin\frac t2$$

3. L'integrale. $$\int_r y\,ds = \int_0^\pi 4\cos^3\frac t2\sin\frac t2\cdot 2\cos\frac t2\,dt = 8\int_0^\pi\cos^4\frac t2\,\sin\frac t2\,dt$$ Con la sostituzione $u = \cos\frac t2$, $du = -\frac12\sin\frac t2\,dt$ (quindi $\sin\frac t2\,dt = -2\,du$), con $u$ che va da $1$ ($t = 0$) a $0$ ($t = \pi$): $$8\int_1^0 u^4\,(-2)\,du = 16\int_0^1 u^4\,du = \frac{16}{5}$$

Significato. Diviso per la lunghezza della mezza cardioide ($4$, metà di $8$), dà $\frac45$: la quota media dei punti della mezza cardioide, cioè la $y$ del suo baricentro geometrico.

3. La cicloide

La curva. È la traiettoria di un punto su una ruota di raggio $1$ che rotola. Per $t = \pm\pi$ è in $(\pm\pi, 0)$ (a terra), per $t = 0$ è in $(0, 2)$ (in cima).

La velocità. $r'(t) = (1 + \cos t,\ -\sin t)$ e $$|r'(t)|^2 = 1 + 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t = 2 + 2\cos t = 4\cos^2\frac t2$$ Per $t \in [-\pi, \pi]$, $\frac t2 \in [-\frac\pi2, \frac\pi2]$ e $\cos\frac t2 \ge 0$: $|r'(t)| = 2\cos\frac t2$.

(i) Lunghezza. $$L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\frac t2\,dt = \Big[4\sin\frac t2\Big]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8$$ Un arco di cicloide è lungo $8$ volte il raggio della ruota (risultato classico).

(ii) $\int_r y^2\,ds$. Sulla curva $y = 1 + \cos t = 2\cos^2\frac t2$, quindi $y^2 = 4\cos^4\frac t2$ e $$\int_r y^2\,ds = \int_{-\pi}^\pi 4\cos^4\frac t2\cdot 2\cos\frac t2\,dt = 8\int_{-\pi}^{\pi}\cos^5\frac t2\,dt = 16\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^5 u\,du$$ (con $u = \frac t2$, $dt = 2\,du$). Per $\cos^5 u$ si usa $\cos^5 u = (1 - \sin^2 u)^2\cos u$ e la sostituzione $s = \sin u$ (vedi Integrali di potenze di seno e cosenoPer ∫ cos^n x · sin^m x dx: se un esponente è dispari si stacca un fattore (sin x oppure cos x), il resto si scrive con l'altra funzione usando sin²+cos² = 1 e si sostituisce y = cos x (o y = sin x); se sono entrambi pari si usano le formule di bisezione cos²x = (1+cos 2x)/2, sin²x = (1−cos 2x)/2 per abbassare il grado.Integrali di potenze di seno e coseno →): $$\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos^5 u\,du = \int_{-1}^1(1 - s^2)^2\,ds = \int_{-1}^1(1 - 2s^2 + s^4)\,ds = 2 - \frac43 + \frac25 = \frac{16}{15}$$ $$\int_r y^2\,ds = 16\cdot\frac{16}{15} = \frac{256}{15} \approx 17.07$$ (confermato numericamente con Python).

Errori comuni

• Sostituire $\sqrt{t^2} = t$ senza guardare il segno: qui è lecito perché $t \in [0, \pi]$.
• Perdere il fattore $2$ della sostituzione $u = \frac t2$ o $u = \cos\frac t2$.
• Dimenticare $|r'(t)|$: integrare solo $y$ o $y^2$ in $dt$ dà un altro numero.