Esercizio 54calcoli con la normale e tolleranze

Testo.

1. (Appello 4, a.a. 2018/19.) Un pastificio produce spaghetti il cui diametro è una variabile normale di media $0.3$ mm e varianza $0.09$ mm². Uno spaghetto è accettabile se il diametro è compreso tra $0.21$ e $0.39$ mm. (1) Determinare la probabilità che uno spaghetto sia accettabile; (2) determinare il valore massimo della varianza che assicura che uno spaghetto sia accettabile con probabilità almeno $90\%$.
2. (Appello 3, a.a. 2017/18.) Il passo delle eliche prodotte da un'azienda è normale con media $11$ cm e varianza $0.25$ cm². Le eliche con passo tra $10.8$ e $11.2$ cm sono accettabili. (a) Probabilità che un'elica sia accettabile; (b) quanto dovrebbe valere la varianza affinché la probabilità che un'elica sia accettabile superi il $70\%$? (frazione)
3. (Ripassi 3.32.) Il diametro interno medio delle guarnizioni prodotte da una macchina è $0.502$ cm, la deviazione standard $0.005$ cm; la tolleranza è tra $0.495$ e $0.508$ cm. Assumendo la legge normale, calcolare la percentuale di guarnizioni difettose.
4. (Ripassi 3.34.) Pezzi di lunghezza nominale $20$ cm, accettabili tra $19.5$ e $20.5$ cm; le lunghezze sono normali con media $20$ e deviazione standard $0.25$ cm. (a) Quale percentuale non rispetta la tolleranza? (b) A quale valore ridurre la deviazione standard perché il $99\%$ dei pezzi la rispetti?
5. (Ripassi 3.33.) L'errore di misura di un calibro è normale di media $0$ e varianza $0.5^2$ in ambiente secco, $0.25^2$ in ambiente umido; le misure sono fatte in ambiente secco nel $20\%$ dei casi. (a) Probabilità che $|X| < 0.6$? (b) Sapendo che $|X| < 0.6$, probabilità che la misura sia stata fatta in ambiente umido?

Teoria: Variabili aleatorie normali (gaussiane)Z ~ N(0,1) ha densità e^{−x²/2}/√(2π) (normalizzata grazie all'integrale di Gauss), media 0, varianza 1, funzione di distribuzione Φ tabulata per x ≥ 0, con Φ(−x) = 1 − Φ(x). X ~ N(μ, σ²) se (X − μ)/σ ~ N(0,1), cioè X = μ + σZ: media μ, varianza σ², densità e^{−(x−μ)²/(2σ²)}/√(2πσ²). Si calcola sempre standardizzando: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ). Regola 68-95-99.7: P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 0.683, ≤ 2σ ≈ 0.954, ≤ 3σ ≈ 0.997.Variabili aleatorie normali (gaussiane) →.

Il metodo: standardizzare, $P(a < X < b) = \Phi\left(\frac{b - \mu}\sigma\right) - \Phi\left(\frac{a - \mu}\sigma\right)$; per intervalli simmetrici attorno alla media, $P(|X - \mu| < c) = 2\Phi\left(\frac c\sigma\right) - 1$. Valori di $\Phi$ dalla tabella (controllati con Python).

1. Gli spaghetti

$\sigma = \sqrt{0.09} = 0.3$ mm. L'intervallo $[0.21, 0.39]$ è simmetrico attorno a $\mu = 0.3$, di semiampiezza $0.09$: $$P(|X - 0.3| \le 0.09) = 2\Phi\left(\frac{0.09}{0.3}\right) - 1 = 2\Phi(0.3) - 1 \approx 2\cdot 0.6179 - 1 = 0.236$$ Solo il $24\%$: la variabilità è enorme rispetto alla tolleranza.

(2) Serve $2\Phi\left(\frac{0.09}{\sigma}\right) - 1 \ge 0.9$, cioè $\Phi\left(\frac{0.09}\sigma\right) \ge 0.95$. Dalla tabella $\Phi(z) = 0.95$ per $z \approx 1.645$ (tra $0.9495$ in $1.64$ e $0.9505$ in $1.65$). Quindi $$\frac{0.09}{\sigma} \ge 1.645 \iff \sigma \le 0.0547 \iff \sigma^2 \le 0.0030 \text{ mm}^2$$ La varianza va ridotta di circa $30$ volte.

2. Le eliche

(a) $\sigma = 0.5$; intervallo simmetrico di semiampiezza $0.2$: $2\Phi(0.4) - 1 \approx 2\cdot 0.6554 - 1 = 0.311$.

(b) $2\Phi\left(\frac{0.2}\sigma\right) - 1 > 0.7 \iff \Phi\left(\frac{0.2}\sigma\right) > 0.85$. Dalla tabella $\Phi(1.04) \approx 0.8508$, quindi serve $\frac{0.2}\sigma > 1.04$: $$\sigma < \frac{0.2}{1.04} = \frac{5}{26}, \qquad \sigma^2 < \frac{25}{676} \approx 0.037 \text{ cm}^2$$

3. Le guarnizioni

$\mu = 0.502$, $\sigma = 0.005$; l'intervallo non è simmetrico: $$P(0.495 \le X \le 0.508) = \Phi\left(\frac{0.006}{0.005}\right) - \Phi\left(\frac{-0.007}{0.005}\right) = \Phi(1.2) - (1 - \Phi(1.4)) \approx 0.8849 - 0.0808 = 0.804$$ Difettose: $1 - 0.804 \approx 19.6\%$.

4. I pezzi meccanici

(a) $2\left(1 - \Phi\left(\frac{0.5}{0.25}\right)\right) = 2(1 - \Phi(2)) \approx 2\cdot 0.0228 = 4.6\%$.

(b) $2\Phi\left(\frac{0.5}\sigma\right) - 1 = 0.99 \iff \Phi\left(\frac{0.5}\sigma\right) = 0.995 \iff \frac{0.5}\sigma \approx 2.576$, quindi $\sigma \approx 0.194$ cm.

5. Il calibro e l'umidità

Partizione sull'ambiente: secco ($0.2$, $\sigma = 0.5$) o umido ($0.8$, $\sigma = 0.25$).

• $P(|X| < 0.6 \mid \text{secco}) = 2\Phi(1.2) - 1 \approx 0.770$;
• $P(|X| < 0.6 \mid \text{umido}) = 2\Phi(2.4) - 1 \approx 0.984$.

(a) $P(|X| < 0.6) = 0.2\cdot 0.770 + 0.8\cdot 0.984 \approx 0.154 + 0.787 = 0.941$.

(b) Bayes: $P(\text{umido} \mid |X| < 0.6) = \frac{0.787}{0.941} \approx 0.836$ (poco più di $0.8$: un errore piccolo è un leggero indizio di ambiente umido).

Errori comuni

• Usare la varianza come deviazione standard ($0.09$ invece di $0.3$ negli spaghetti).
• Nel punto 3 trattare l'intervallo come simmetrico.
• Cercare in tabella $0.9$ invece di $0.95$ per una probabilità bilaterale del $90\%$.