Lezione 20Disuguaglianze di Markov e Chebyshev e leggi dei grandi numeri

Modulo: Probabilità, Lezione 10 ("Disuguaglianze di Markov e Chebychev - Leggi dei grandi numeri"), slide del 21 dicembre 2025. Le slide disponibili contengono solo l'Unità 3; le disuguaglianze delle Unità 1-2 sono svolte nella nota a partire dal titolo della lezione.

Argomenti trattati

1. Disuguaglianze di Markov e Chebyshev (dal titolo della lezione).
2. Unità 3 - Legge forte dei grandi numeri: la frequenza delle teste come media campionaria di Bernoulli; enunciato della legge forte e suo significato; la frequenza converge a $p$ con probabilità $1$.

Teoria

• Disuguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeriMarkov: se X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a. Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var[X]/ε², valida per ogni legge (stime grossolane ma universali). Legge debole dei grandi numeri: per X₁, X₂, … i.i.d. con media μ e varianza finita, P(|X̄ₙ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²) → 0. Legge forte: con probabilità 1 la media campionaria X̄ₙ tende a μ; in particolare la frequenza dei successi in prove indipendenti tende alla probabilità p, giustificando l'idea frequentista.Disuguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeri →

Esercizi

• Esercizio 61 · Markov, Chebyshev e stima di una frequenza — confronto tra le stime di Chebyshev e del teorema centrale del limite