Esercizio 59densità congiunte continue dagli appelli

Testo (dagli appelli).

1. (II compitino, 4 febbraio 2015.) $(X, Y)$ ha densità $c(x^2 + xy)$ per $x, y \in [0, 1]$, $0$ altrimenti. (a) Determinare $c$; (b) calcolare $P(X > Y)$; (c) determinare le marginali e dire se $X$ e $Y$ sono indipendenti.
2. (Appello 4, 2014/15.) $(X, Y)$ ha densità $25e^{-5y}$ se $0 < x < y$, $0$ altrimenti. (a) Marginali; (b) indipendenti? (c) calcolare $P(X \le 3, Y \le 2)$.
3. (Appello 4, 5 settembre 2017.) $(X, Y)$ ha densità $Kxy\,e^{-(x^2+y^2)}$ se $x > 0, y > 0$. (a) Determinare $K$; (b) calcolare $P(X < 2Y)$; (c) (facoltativo) $X$ e $Y$ sono indipendenti?
4. (Appello 3, 2017/18.) $(X, Y)$ ha densità $c(x^2 + y)$ se $0 \le x \le y \le 2$. (a) Calcolare $c$; (b) la densità marginale di $Y$; (c) (facoltativo) $P\left(X \le \frac12 \mid Y \le 1\right)$.
5. (Appello 3, 9 luglio 2019.) $f(x, y) = ax^2(5 - y)$ su $[0, 1]^2$. (1) Per quale $a$ è una densità congiunta? (2) Marginali; (3) $P(X \le 2Y)$.
6. (Appello 4, 2018/19.) $f_a(x, y) = ax^3(y + 1)$ su $[0, 1]^2$. (1) Valore di $a$; (2) marginali; (3) $X$ e $Y$ sono indipendenti? (4) $P(Y \le X^2)$.
7. (I appello, facsimile 2015/16.) $X$, $Y$ hanno densità congiunta $c\,e^{-y}$ se $x, y \in [0, 1]$, $y < x$, $0$ altrimenti. (a) Calcolare $c$ e la marginale $f_X$ (indicando bene dove è nulla); (b) $P\left(Y > \frac X2\right)$.

Teoria: Variabili aleatorie congiunte continue(X, Y) è congiunta continua se esiste f_{X,Y} ≥ 0 con P((X,Y) ∈ A) = ∫∫A f{X,Y} dx dy e integrale totale 1 (le probabilità si calcolano con gli integrali doppi). Uniforme su C: densità 1/Area(C) su C. Marginali: fₓ(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy, f_Y(y) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dx, nulle fuori dalle proiezioni del sostegno. E[g(X,Y)] = ∫∫ g f_{X,Y}. X, Y indipendenti ⇔ f_{X,Y}(x,y) = fₓ(x) f_Y(y); allora il sostegno è un rettangolo (prodotto cartesiano): un sostegno triangolare o circolare esclude l'indipendenza. Covarianza nulla non implica indipendenza (uniforme sul disco).Variabili aleatorie congiunte continue →, Integrali doppi e formule di riduzioneL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione →.

Schema: (1) normalizzazione con un integrale doppio sul sostegno; (2) marginali integrando sui segmenti dentro il sostegno; (3) indipendenza: sostegno rettangolare e densità prodotto di una funzione di $x$ per una di $y$; (4) probabilità = integrale doppio su (regione richiesta) $\cap$ (sostegno). Tutti i risultati verificati con Python (sympy).

1. $c(x^2 + xy)$ sul quadrato

(a) $\int_0^1\int_0^1(x^2 + xy)\,dy\,dx = \int_0^1\left(x^2 + \frac x2\right)dx = \frac13 + \frac14 = \frac7{12}$, quindi $c = \frac{12}{7}$.

(b) $X > Y$: sotto la bisettrice. $$P(X > Y) = \frac{12}7\int_0^1\int_0^x(x^2 + xy)\,dy\,dx = \frac{12}7\int_0^1\left(x^3 + \frac{x^3}2\right)dx = \frac{12}{7}\cdot\frac32\cdot\frac14 = \frac{9}{14}$$

(c) $f_X(x) = \frac{12}7\left(x^2 + \frac x2\right) = \frac{12x^2 + 6x}{7}$, $f_Y(y) = \frac{12}7\left(\frac13 + \frac y2\right) = \frac{4 + 6y}{7}$ (su $[0, 1]$). Il prodotto non è la congiunta: in $(1, 0)$, $f = \frac{12}7$ mentre $f_X(1)f_Y(0) = \frac{18}7\cdot\frac47 = \frac{72}{49} \ne \frac{84}{49}$. Non indipendenti (anche se il sostegno è un quadrato: $x^2 + xy = x(x + y)$ non si separa).

2. $25e^{-5y}$ su $0 < x < y$

(a) Per $x > 0$: $f_X(x) = \int_x^{+\infty}25e^{-5y}\,dy = 5e^{-5x}$ ($X \sim \operatorname{Exp}(5)$). Per $y > 0$: $f_Y(y) = \int_0^y 25e^{-5y}\,dx = 25y\,e^{-5y}$.

(b) Sostegno triangolare: non indipendenti.

(c) Sul sostegno $X < Y$, quindi se $Y \le 2$ automaticamente $X < 2 \le 3$: $\{X \le 3, Y \le 2\} = \{Y \le 2\}$ (a meno di eventi trascurabili). $$P(Y \le 2) = \int_0^2 25y\,e^{-5y}\,dy = \Big[-(5y + 1)e^{-5y}\Big]_0^2 = 1 - 11e^{-10}$$

3. $Kxy\,e^{-(x^2+y^2)}$ sul primo quadrante

(a) L'integrale si fattorizza: $K\left(\int_0^\infty x\,e^{-x^2}dx\right)^2 = K\cdot\frac14$, quindi $K = 4$.

(b) $P(X < 2Y)$, con la formula di riduzione. Per $y$ fissato, $\int_0^{2y}2x\,e^{-x^2}dx = 1 - e^{-4y^2}$, e $$P = \int_0^\infty 2y\,e^{-y^2}\left(1 - e^{-4y^2}\right)dy = 1 - \int_0^\infty 2y\,e^{-5y^2}dy = 1 - \frac15 = \frac45$$

(c) $f = 2x\,e^{-x^2}\cdot 2y\,e^{-y^2}$ sul quadrante (un prodotto cartesiano): indipendenti, con la stessa marginale $2x\,e^{-x^2}$ (una "Rayleigh").

4. $c(x^2 + y)$ su $0 \le x \le y \le 2$

(a) $\int_0^2\int_0^y(x^2 + y)\,dx\,dy = \int_0^2\left(\frac{y^3}3 + y^2\right)dy = \frac{16}{12} + \frac83 = 4$, quindi $c = \frac14$.

(b) Per $0 \le y \le 2$: $f_Y(y) = \frac14\int_0^y(x^2 + y)\,dx = \frac14\left(\frac{y^3}3 + y^2\right) = \frac{y^2(y + 3)}{12}$, $0$ altrove.

(c) $P(Y \le 1) = \int_0^1\frac{y^3 + 3y^2}{12}dy = \frac{1}{12}\left(\frac14 + 1\right) = \frac{5}{48}$. Per $P\left(X \le \frac12, Y \le 1\right)$ si spezza la regione: per $y \le \frac12$ tutto il segmento $0 \le x \le y$ ha $x \le \frac12$; per $\frac12 \le y \le 1$ si prende $0 \le x \le \frac12$: $$\frac14\left[\int_0^{1/2}\left(\frac{y^3}3 + y^2\right)dy + \int_{1/2}^1\left(\frac1{24} + \frac y2\right)dy\right] = \frac{49}{768}$$ $$P\left(X \le \tfrac12 \mid Y \le 1\right) = \frac{49/768}{5/48} = \frac{49}{80}$$

5. $ax^2(5 - y)$ sul quadrato

(1) $a\cdot\frac13\cdot\left(5 - \frac12\right) = \frac{3a}{2} = 1$, quindi $a = \frac23$.

(2) $f_X(x) = 3x^2$, $f_Y(y) = \frac{2(5 - y)}{9}$ (su $[0, 1]$): la congiunta è il loro prodotto, quindi $X$ e $Y$ sono indipendenti.

(3) $X \le 2Y$: per $y \ge \frac12$ è sempre vero ($2y \ge 1 \ge x$); per $y < \frac12$ serve $x \le 2y$: Per $y$ fissato, $P(X \le \min(1, 2y)) = \min(1, 2y)^3$ (perché $F_X(x) = x^3$), quindi $$P = \int_0^{1/2}\frac{2(5 - y)}{9}(2y)^3\,dy + \int_{1/2}^1\frac{2(5 - y)}{9}\,dy = \frac{16}{9}\left[\frac{5y^4}{4} - \frac{y^5}{5}\right]_0^{1/2} + \frac29\left[5y - \frac{y^2}2\right]_{1/2}^1 = \frac{23}{180} + \frac{17}{36} = \frac{108}{180} = \frac35$$

6. $ax^3(y + 1)$ sul quadrato

(1) $a\cdot\frac14\cdot\frac32 = 1$, $a = \frac83$.

(2)-(3) $f_X(x) = 4x^3$, $f_Y(y) = \frac{2(y + 1)}{3}$ su $[0, 1]$; prodotto = congiunta: indipendenti.

(4) $$P(Y \le X^2) = \int_0^1 4x^3\left(\int_0^{x^2}\frac{2(y + 1)}3dy\right)dx = \int_0^1 4x^3\cdot\frac{x^4 + 2x^2}{3}\,dx = \frac43\left(\frac18 + \frac26\right) = \frac{11}{18}$$

7. $c\,e^{-y}$ su $0 < y < x < 1$

(a) $\int_0^1\int_0^x e^{-y}dy\,dx = \int_0^1(1 - e^{-x})\,dx = e^{-1}$, quindi $c = e$. Per $0 < x < 1$: $f_X(x) = e\int_0^x e^{-y}dy = e(1 - e^{-x}) = e - e^{1-x}$; $f_X(x) = 0$ per $x \notin\, ]0, 1[$.

(b) $P\left(Y > \frac X2\right) = e\int_0^1\int_{x/2}^x e^{-y}\,dy\,dx = e\int_0^1\left(e^{-x/2} - e^{-x}\right)dx = e\left[2(1 - e^{-1/2}) - (1 - e^{-1})\right] = 1 + e - 2\sqrt e \approx 0.421$

Errori comuni

• Nel punto 1 dichiarare indipendenti perché il sostegno è un quadrato: serve anche che la densità si fattorizzi.
• Nel punto 4 non spezzare la regione in $y \le \frac12$ e $y \ge \frac12$.