Probabilità uniforme su uno spazio finito

Lezione 2 di probabilità, Unità 1. Prerequisiti: Cardinalità, sequenze e principio di moltiplicazione|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| (inclusione-esclusione), |A × B| = |A||B|, |Aᶜ| = |X| − |A|; due insiemi hanno la stessa cardinalità se sono in biiezione. Una k-sequenza di Iₙ = {1,…,n} è una k-upla ordinata (conta l'ordine): sono nᵏ; distribuire k oggetti distinti in n scatole (spartizioni) equivale a una k-sequenza di Iₙ. Principio di moltiplicazione: se un oggetto si costruisce in fasi con m₁, …, mₙ esiti e l'oggetto finale determina gli esiti di tutte le fasi, il numero è m₁⋯mₙ. I sottoinsiemi di Iₙ sono 2ⁿ.Cardinalità, sequenze e principio di moltiplicazione →, Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammin! conta le permutazioni di n oggetti; le k-sequenze senza ripetizione di Iₙ sono n!/(n−k)!. Principio di divisione: se ogni elemento di Y corrisponde a esattamente m elementi di X, |Y| = |X|/m. Da qui i k-sottoinsiemi di Iₙ sono C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) (ogni insieme viene da k! sequenze). Anagrammi di una parola con k₁, …, kₙ ripetizioni: k!/(k₁!⋯kₙ!). Procedura: strutture ordinate → sequenze e PM; non ordinate → insiemi o principio di divisione; contare solo alla fine. Stirling: n! ~ √(2πn)(n/e)ⁿ.Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammi →.

Il modello "casi favorevoli su casi possibili"

Si lancia un dado con facce $1, \dots, 6$: qual è la probabilità di un numero pari? Se il dado è equilibrato e il lancio regolare (domande che non sono di matematica), gli esiti sono equiprobabili e la risposta è $\frac{\text{favorevoli}}{\text{possibili}} = \frac36 = 50\%$.

Attenzione. Con un dado equilibrato a facce $1, 1, 1, 2, 3, 4$, contare $\frac{\text{esiti pari}}{\text{esiti possibili}} = \frac24$ sullo spazio $\{1, 2, 3, 4\}$ è sbagliato: l'esito $1$ ha probabilità $\frac36$, gli altri $\frac16$. La probabilità giusta di un pari è $\frac{2}{6} = \frac13$ (facce $2$ e $4$ su $6$ facce equiprobabili). La formula "favorevoli su possibili" vale solo se gli esiti dello spazio scelto sono equiprobabili.

Definizione. Sia $\Omega$ un insieme finito (lo spazio campionario). La probabilità uniforme su $\Omega$ è $$P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1], \qquad P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|}$$ Gli elementi di $\Omega$ sono gli esiti (o eventi elementari), i sottoinsiemi di $\Omega$ sono gli eventi. Proposizione. $P$ è uniforme se e solo se $P(\{\omega\}) = \frac{1}{|\Omega|}$ per ogni $\omega \in \Omega$.

La scelta di $\Omega$ è una scelta di modello. Per il dado a facce $1, 2, 3, 4, 5, 6$ si prende $\Omega = \{1, \dots, 6\}$ con la probabilità uniforme. Per il dado a facce $1, 1, 1, 2, 3, 3$ lo spazio "naturale" $\{1, 2, 3\}$ non ha esiti equiprobabili ($P(1) = \frac12$, $P(2) = \frac16$, $P(3) = \frac13$); per usare la probabilità uniforme bisogna distinguere le facce (sei facce con etichetta).

Proprietà

Per eventi $A$, $B$ di uno spazio finito con probabilità uniforme:

1. $P(\emptyset) = 0$, $P(\Omega) = 1$;
2. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$;
3. se $A \cap B = \emptyset$: $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$;
4. $P(A^c) = 1 - P(A)$.

Sono le proprietà della cardinalità divise per $|\Omega|$. La 4 è la più usata: per gli eventi "almeno uno" si calcola la probabilità del complementare "nessuno".

Esempi del prof

Due carte da un mazzo di 52 (senza ordine: $\Omega$ = sottoinsiemi di $2$ carte, $|\Omega| = \binom{52}2 = 1326$).

• Due picche: $\frac{\binom{13}2}{1326} = \frac{78}{1326} = \frac1{17} \approx 5.9\%$.
• Una picche e una cuori: $\frac{13\cdot 13}{1326} = \frac{13}{102} \approx 12.7\%$.

Ripetizioni. Si estraggono $3$ numeri tra $10$ con reimmissione (esiti: $3$-sequenze di $I_{10}$, $10^3$ equiprobabili). Nessuna ripetizione: $10\cdot 9\cdot 8 = 720$ sequenze. Almeno una ripetizione: $1 - \frac{720}{1000} = 0.28$. Senza reimmissione la probabilità è $0$.

Due dadi colorati. Ciascuno ha $2$ facce rosse, $2$ nere, $1$ gialla, $1$ bianca. Probabilità che escano due facce dello stesso colore: con $\Omega$ = coppie (faccia del primo, faccia del secondo), $36$ esiti equiprobabili, i favorevoli sono $2\cdot 2 + 2\cdot 2 + 1\cdot 1 + 1\cdot 1 = 10$, quindi $\frac{10}{36} = \frac5{18}$.

Urna con $8$ nere e $10$ rosse.

• Due estrazioni con reimmissione, una nera e una rossa: le coppie ordinate sono $18^2 = 324$; (nera, rossa) $8\cdot 10$ e (rossa, nera) $10\cdot 8$: $\frac{160}{324} = \frac{40}{81} \approx 0.49$.
• Tre estrazioni con reimmissione, la terza rossa: $\frac{18\cdot 18\cdot 10}{18^3} = \frac{10}{18} = \frac59$ (le prime due non contano).
• Due estrazioni senza reimmissione, stesso colore: $\frac{\binom82 + \binom{10}2}{\binom{18}2} = \frac{28 + 45}{153} = \frac{73}{153} \approx 0.477$. Con reimmissione: $\frac{8^2 + 10^2}{18^2} = \frac{164}{324} = \frac{41}{81} \approx 0.506$ (un po' più alta: rimettendo la pallina, la seconda ha più possibilità di avere lo stesso colore).

Due dadi, somma $5$ o $7$. Lo spazio giusto è quello delle coppie ordinate $(a, b)$, $36$ equiprobabili (le somme $2, \dots, 12$ non sono equiprobabili!). Somma $5$: $(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)$, probabilità $\frac4{36} = \frac19$. Somma $7$: $6$ coppie, $\frac16$ (la somma più probabile).

I tre romanzi vicini. $6$ libri distinti ($3$ romanzi) messi a caso su un ripiano: $6!$ ordinamenti equiprobabili. Favorevoli: si incolla il blocco dei romanzi e lo si tratta come un libro solo ($4!$ ordinamenti di blocco e altri $3$ libri), poi si ordinano i romanzi nel blocco ($3!$): $\frac{4!\,3!}{6!} = \frac{144}{720} = \frac15$.

Il paradosso dei compleanni

$23$ persone, compleanni in $\{1, \dots, 365\}$ (ignorando il 29 febbraio e supponendo tutte le date equiprobabili). Probabilità che almeno due compiano gli anni lo stesso giorno?

$\Omega$ = $23$-sequenze di $I_{365}$ (il compleanno di ciascuno), $|\Omega| = 365^{23}$. Il complementare "tutti diversi" sono le sequenze senza ripetizione, $\frac{365!}{342!}$: $$P(\text{almeno due uguali}) = 1 - \frac{365\cdot 364\cdots 343}{365^{23}} \approx 0.507$$ Più del 50% con sole $23$ persone (con $25$, come nell'esempio della presentazione del corso, $\approx 0.569$). È un "paradosso" perché l'intuizione pensa a "qualcuno con il mio compleanno" (che è raro), mentre qui conta una qualunque coppia: le coppie sono $\binom{23}2 = 253$.

Esercizi: Esercizio 39 · mani di poker, caffè a caso e la foto del matrimonio.

Errori comuni

• Usare "favorevoli su possibili" su uno spazio con esiti non equiprobabili (le somme di due dadi, il dado con facce ripetute).
• Mescolare modello ordinato e non ordinato tra favorevoli e possibili.
• Contare direttamente "almeno uno" invece di passare al complementare.