Esercizio 46combinatoria e probabilità uniforme dai Ripassi

Testo (Ripassi 2025/26, parte di probabilità).

• 3.1 Contare gli anagrammi di ANTARTIDE nei quali non compaiono accanto due lettere uguali.
• 3.2 Un comitato di sei persone viene scelto casualmente da un club composto da $18$ maschi e $12$ femmine. (a) Qual è la probabilità che ci sia almeno una femmina nel comitato? (b) Qual è la probabilità che ci siano esattamente tre maschi e tre femmine?
• 3.3 Quattro palline vengono estratte casualmente da un'urna contenente sei palline rosse e quattro blu. Trovare la probabilità che tutte e quattro siano blu se (a) ciascuna pallina viene reinserita prima della successiva estrazione; (b) le palline non vengono reinserite.
• 3.5 Quanti sono gli anagrammi della stringa BOOKKEEPER con le due O vicine?
• 3.6 Determinare in quanti modi $10$ persone si possono sedere attorno a una tavola rotonda (conta solo la posizione relativa), giustificando con cura.
• 3.7 Cinque persone salgono su un ascensore che si ferma a cinque piani; ciascuna scende con la stessa probabilità in uno qualsiasi dei piani. Trovare la probabilità che tutti scendano a piani diversi.
• 3.8 Trovare la probabilità che in un insieme di $9$ persone almeno due abbiano il compleanno nello stesso mese (mesi equiprobabili).
• 3.21 Si lanciano due dadi regolari. Probabilità che la somma sia: (a) $7$ o $11$; (b) un numero primo; (c) maggiore di $7$ sapendo che uno dei dadi ha dato $3$; (d) almeno $7$; (e) un numero pari e maggiore di $7$.

Teoria: Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammin! conta le permutazioni di n oggetti; le k-sequenze senza ripetizione di Iₙ sono n!/(n−k)!. Principio di divisione: se ogni elemento di Y corrisponde a esattamente m elementi di X, |Y| = |X|/m. Da qui i k-sottoinsiemi di Iₙ sono C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) (ogni insieme viene da k! sequenze). Anagrammi di una parola con k₁, …, kₙ ripetizioni: k!/(k₁!⋯kₙ!). Procedura: strutture ordinate → sequenze e PM; non ordinate → insiemi o principio di divisione; contare solo alla fine. Stirling: n! ~ √(2πn)(n/e)ⁿ.Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammi →, Probabilità uniforme su uno spazio finitoSu uno spazio campionario finito Ω con esiti equiprobabili la probabilità uniforme è P(A) = |A|/|Ω| (casi favorevoli su casi possibili); equivalentemente P({ω}) = 1/|Ω| per ogni esito. Gli eventi sono i sottoinsiemi di Ω. Proprietà: P(∅) = 0, P(Ω) = 1, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), P(Aᶜ) = 1 − P(A). Scegliere Ω in modo che gli esiti siano davvero equiprobabili è una scelta di modello, non di matematica (dado con facce ripetute, somma di due dadi, paradosso dei compleanni).Probabilità uniforme su uno spazio finito →, Probabilità condizionata e formula del prodottoLa probabilità di E condizionata a F (con P(F) > 0) è P(E | F) = P(E ∩ F)/P(F): la probabilità di E "sapendo che F si è realizzato". E ↦ P(E | F) è a sua volta una probabilità; se P è uniforme, P(· | F) è uniforme su F. Ne seguono P(E ∩ F) = P(E | F) P(F) e la formula del prodotto P(A₁⋯Aₙ) = P(A₁) P(A₂ | A₁) P(A₃ | A₁A₂) ⋯ P(Aₙ | A₁⋯Aₙ₋₁), utile per le estrazioni successive.Probabilità condizionata e formula del prodotto →.

Tutti i risultati numerici sono stati verificati con Python.

3.1 ANTARTIDE senza lettere uguali vicine

$9$ lettere: A ($2$), T ($2$), N, R, I, D, E. Totale: $\frac{9!}{2!\,2!} = 90\,720$. Con l'inclusione-esclusione si tolgono quelli "cattivi": sia $\mathcal A$ = "le due A sono vicine", $\mathcal T$ = "le due T sono vicine".

• $|\mathcal A|$: si incolla "AA" in un blocco: $8$ oggetti con la T doppia, $\frac{8!}{2!} = 20\,160$; analogamente $|\mathcal T| = 20\,160$.
• $|\mathcal A \cap \mathcal T|$: due blocchi, $7$ oggetti distinti: $7! = 5040$.

$$90\,720 - (20\,160 + 20\,160 - 5040) = 55\,440$$

3.2 Il comitato

$\Omega$ = sottoinsiemi di $6$ persone su $30$, $\binom{30}{6} = 593\,775$, equiprobabili.

(a) Complementare "nessuna femmina" = tutti maschi, $\binom{18}{6} = 18\,564$: $$P = 1 - \frac{\binom{18}6}{\binom{30}6} \approx 1 - 0.031 = 0.969$$

(b) $\dfrac{\binom{18}3\binom{12}3}{\binom{30}6} = \dfrac{816\cdot 220}{593\,775} \approx 0.302$.

3.3 Quattro blu

(a) Con reimmissione: le estrazioni sono indipendenti, ognuna blu con probabilità $\frac4{10}$: $0.4^4 = 0.0256$.

(b) Senza reimmissione: l'insieme delle $4$ estratte deve essere l'insieme delle $4$ blu: $\frac{1}{\binom{10}4} = \frac1{210} \approx 0.0048$ (oppure, con il prodotto, $\frac4{10}\cdot\frac39\cdot\frac28\cdot\frac17 = \frac1{210}$).

3.5 BOOKKEEPER con le O vicine

$10$ lettere: B, O ($2$), K ($2$), E ($3$), P, R. Incollando "OO" in un blocco restano $9$ oggetti con K doppia ed E tripla: $$\frac{9!}{2!\,3!} = \frac{362\,880}{12} = 30\,240$$

3.6 La tavola rotonda

Allineando $10$ persone sui $10$ posti numerati si hanno $10!$ disposizioni. Ma attorno a una tavola rotonda due disposizioni che differiscono per una rotazione sono la stessa (cambia la posizione assoluta, non chi sta accanto a chi). Ogni disposizione "relativa" corrisponde a esattamente $10$ disposizioni sui posti numerati (le $10$ rotazioni, tutte diverse): per il principio di divisione $$\frac{10!}{10} = 9! = 362\,880$$ (Equivalentemente: si fa sedere la prima persona in un posto qualsiasi, che fa da riferimento, e si dispongono le altre $9$ rispetto a lei: $9!$.)

3.7 L'ascensore

Ogni persona sceglie il piano: $5$-sequenze di $I_5$, $5^5 = 3125$ equiprobabili. Tutti a piani diversi: sequenze senza ripetizione, $5! = 120$. $$P = \frac{120}{3125} = 0.0384$$

3.8 Nove persone, stesso mese

Come il paradosso dei compleanni con $12$ "giorni": il complementare (tutti mesi diversi) ha probabilità $\frac{12\cdot 11\cdots 4}{12^9}$. $$P = 1 - \frac{12!/3!}{12^9} \approx 1 - 0.0155 = 0.9845$$

3.21 Due dadi

$36$ coppie ordinate equiprobabili.

• (a) Somma $7$: $6$ coppie; somma $11$: $(5,6), (6,5)$. $P = \frac{8}{36} = \frac29$.
• (b) Somme prime $2, 3, 5, 7, 11$: $1 + 2 + 4 + 6 + 2 = 15$ coppie, $P = \frac{15}{36} = \frac5{12}$.
• (c) "Uno dei dadi ha dato $3$" (almeno uno): $11$ coppie ($6 + 6 - 1$, la $(3,3)$ contata una volta). Tra queste, somma $> 7$: $(3, 5), (3, 6), (5, 3), (6, 3)$. Probabilità uniforme ristretta: $\frac4{11}$.
• (d) Somma $\ge 7$: $6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21$ coppie, $\frac{21}{36} = \frac7{12}$.
• (e) Somma pari e $> 7$, cioè $8, 10, 12$: $5 + 3 + 1 = 9$ coppie, $\frac9{36} = \frac14$.

Errori comuni

• Nella tavola rotonda dare $10!$: le rotazioni vanno identificate.
• In 3.21(c), usare $\frac16$ come probabilità del dado col $3$: l'informazione è "almeno un $3$", e lo spazio ristretto ha $11$ esiti.