Lezione 05 — Integrali curvilinei e campi vettoriali

Modulo: Analisi, Lezione 5 ("Campi e integrali curvilinei"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Integrali curvilinei di funzioni: la massa di un filo; definizione; baricentro (semicirconferenza); cammini, giustapposizione e cammino inverso; proprietà.
2. Unità 2 - Campi vettoriali: campi radiali (gravitazionale, elettrico); campi gradiente e primitive; i campi radiali sono gradienti ($|x|^8x$, $|x|^{13}x$).
3. Unità 3 - Integrali curvilinei di campi vettoriali: definizione, lavoro di una forza, notazioni $\int F\cdot T\,ds$ e $\int F_1\,dx + F_2\,dy$.
4. Unità 4 - Proprietà: linearità, cambio di segno con il cammino inverso, giustapposizione (esempio con semicerchio e parabola).
5. Unità 5 - Campi conservativi: il vortice non è conservativo; teorema fondamentale dei campi gradiente; campi irrotazionali e rotore; test delle derivate miste; domini semplicemente connessi, stellati, convessi; metodo delle integrazioni parziali; campi irrotazionali sul piano bucato.

Teoria

• Integrale curvilineo di una funzioneL'integrale curvilineo di una funzione continua μ su una curva C¹ r : [a,b] → Rⁿ è ∫_r μ ds = ∫ₐᵇ μ(r(t)) |r'(t)| dt ("ds = |r'(t)| dt"). Con μ = densità lineare dà la massa di un filo; con μ = 1 la lunghezza. Il baricentro è (∫ x μ ds)/(∫ μ ds), coordinata per coordinata. Si estende ai cammini (curve C¹ a tratti) sommando sui pezzi; non dipende dal verso di percorrenza né dalla parametrizzazione.Integrale curvilineo di una funzione →
• Campi vettoriali, campi radiali e campi gradienteUn campo vettoriale è F : D ⊆ Rⁿ → Rⁿ (a ogni punto un vettore: velocità di un fluido, forza). Radiale: F(x) = g(|x|) x/|x| (diretto come il raggio, intensità dipendente solo dalla distanza), come i campi gravitazionale ed elettrico K x/|x|³. Gradiente: F = ∇U con U ∈ C¹ (U è una primitiva; in fisica il potenziale è −U); su un aperto connesso le primitive differiscono per una costante. Ogni campo radiale continuo è gradiente, con primitiva G(|x|) dove G' = g.Campi vettoriali, campi radiali e campi gradiente →
• Integrale curvilineo di un campo vettorialeL'integrale di un campo F lungo un cammino r : [a,b] → D è ∫_r F·dr = ∫ₐᵇ F(r(t))·r'(t) dt: per un campo di forze è il lavoro. Si scrive anche ∫_r F·T ds (T versore tangente) o ∫_r F₁ dx₁ + … + Fₙ dxₙ (notazione "termodinamica"); su un circuito si parla di circuitazione ∮. È lineare, additivo per giustapposizione, e CAMBIA SEGNO invertendo il verso di percorrenza.Integrale curvilineo di un campo vettoriale →
• Campi conservativi e irrotazionaliF è conservativo se l'integrale lungo un cammino dipende solo dagli estremi (equivalentemente: circuitazione nulla su ogni circuito). Teorema fondamentale: se F = ∇U allora ∫_r F·dr = U(fine) − U(inizio); conservativo ⇔ gradiente. Condizione necessaria (F ∈ C¹): irrotazionale, ∂ⱼFᵢ = ∂ᵢFⱼ. Non sufficiente: il vortice (−y, x)/(x² + y²) è irrotazionale ma ha circuitazione 2π sul cerchio. Sufficiente su domini semplicemente connessi (convessi, stellati). Primitiva con le integrazioni parziali. Sul piano bucato basta controllare la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco.Campi conservativi e irrotazionali →

Esercizi

• Esercizio 24 · integrali curvilinei di funzioni e baricentri — esercizi 1-3 (Ripassi 1.17 e 1.18)
• Esercizio 25 · integrali di campi lungo cicloide, spirale e cerchio — esercizi 3 (iii) e 4, appello 4 del 2018/19
• Esercizio 26 · campi conservativi e primitive — esercizi 5, 6 e dell'Unità 5, Ripassi 1.20 e 1.22, compitino 2014 e appelli 2015-2019
• Esercizio 27 · campi irrotazionali sul piano bucato — esercizi 7 e 8 (Ripassi 1.19 e 1.21)