Esercizio 20regola della catena e gradiente da informazioni lungo curve

Testo.

1. (Lezione 3, esercizio 7.) Siano $f(x, y, z) = x^2 + xy + z^2$ e $g(s, t) = (e^s, \cos t, st)$. Determinare $\partial_s(f \circ g)$ in due modi diversi: direttamente ed applicando la regola della catena.
2. (Lezione 3, esercizio 8.) Sia $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ di classe $C^2$ e $F(x, y) = f(x, xy)$. Esprimere $\partial^2_{21}F(x, y) = \partial_2(\partial_1 F)(x, y)$ attraverso le derivate parziali di $f$.
3. (Ripassi 2025/26, esercizio 1.11.) Sia $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ di classe $C^2$ con $f_x(1, 1) = f_{xx}(1, 1) = 1$ e $f_y(1, 1) = f_{yy}(1, 1) = 0$, e $g : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tale che $g(r, \theta) = f(r\cos\theta, r\sin\theta)$. Calcolare $g_{r\theta}(\sqrt2, \pi/4)$.

Teoria: Regola della catena in più variabiliSe x(t) è una curva derivabile e f è differenziabile in x(t₀), allora (f∘x)'(t₀) = ∇f(x(t₀))·x'(t₀) = Σ ∂ᵢf(x(t₀)) xᵢ'(t₀): la variazione di f lungo il moto è il gradiente per la velocità. Serve per derivare composte come f(2t, t²), per ricavare il gradiente da informazioni lungo curve, per le derivate di f(g(s,t)) e per provare che il gradiente è ortogonale alle curve di livello.Regola della catena in più variabili →, Derivate seconde e matrice hessianaLe derivate seconde ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ = ∂ᵢ(∂ⱼf) si ottengono derivando una derivata parziale. La matrice hessiana Hess f(p) raccoglie le n² derivate seconde (riga i, colonna j: ∂ᵢ∂ⱼf). Teorema di Schwarz: se f è C² (derivate seconde continue) le derivate miste coincidono, ∂ᵢ∂ⱼf = ∂ⱼ∂ᵢf, quindi l'hessiana è simmetrica. Servirà per classificare i punti critici.Derivate seconde e matrice hessiana →.

1. $\partial_s(f \circ g)$ in due modi

Direttamente. Si sostituisce $x = e^s$, $y = \cos t$, $z = st$ nella formula di $f$: $$(f \circ g)(s, t) = e^{2s} + e^s\cos t + s^2t^2$$ e si deriva rispetto a $s$ (con $t$ costante): $$\partial_s(f \circ g) = 2e^{2s} + e^s\cos t + 2st^2$$

Con la regola della catena. Con $t$ fisso, $s \mapsto g(s, t)$ è una curva con velocità $$\partial_s g(s, t) = (e^s,\ 0,\ t)$$ Il gradiente di $f$ è $\nabla f = (2x + y,\ x,\ 2z)$, e va calcolato nel punto $g(s, t)$: $$\nabla f(g(s, t)) = (2e^s + \cos t,\ e^s,\ 2st)$$ Quindi $$\partial_s(f \circ g) = (2e^s + \cos t)\,e^s + e^s\cdot 0 + 2st\cdot t = 2e^{2s} + e^s\cos t + 2st^2 \ ✓$$

I due risultati coincidono. La regola della catena è utile soprattutto quando $f$ non è nota esplicitamente (come nei punti 2 e 3).

2. $\partial_2\partial_1 F$ per $F(x, y) = f(x, xy)$

Indichiamo con $f_1, f_2$ le derivate parziali di $f$ rispetto al primo e al secondo argomento, e con $f_{12}$, $f_{22}$, … le derivate seconde. Tutte vanno calcolate nel punto $(x, xy)$.

Derivata rispetto a $x$. Con $y$ fisso, la curva è $x \mapsto (x, xy)$, di velocità $(1, y)$: $$\partial_1 F(x, y) = f_1(x, xy)\cdot 1 + f_2(x, xy)\cdot y$$

Derivata rispetto a $y$ di quanto trovato. Ora $x$ è fisso e la curva è $y \mapsto (x, xy)$, di velocità $(0, x)$. Si deriva ogni termine:

• $\partial_y\big[f_1(x, xy)\big] = f_{11}\cdot 0 + f_{21}\cdot x = x\,f_{21}(x, xy)$ (regola della catena applicata alla funzione $f_1$);
• $\partial_y\big[y\,f_2(x, xy)\big] = f_2(x, xy) + y\cdot\partial_y\big[f_2(x, xy)\big] = f_2(x, xy) + y\cdot x\,f_{22}(x, xy)$ (regola del prodotto, poi catena).

Sommando, e usando Schwarz ($f \in C^2$, quindi $f_{21} = f_{12}$): $$\partial^2_{21}F(x, y) = x\,f_{12}(x, xy) + f_2(x, xy) + xy\,f_{22}(x, xy)$$

Controllo con un esempio ($f(u, v) = uv$, per cui $f_2 = u$, $f_{12} = 1$, $f_{22} = 0$): $F = x\cdot xy = x^2y$, $\partial_1 F = 2xy$, $\partial_2\partial_1 F = 2x$. La formula dà $x\cdot 1 + x + 0 = 2x$ ✓.

3. $g_{r\theta}(\sqrt2, \pi/4)$ in coordinate polari

Il punto: $r = \sqrt2$, $\theta = \frac\pi4$ corrisponde a $(\sqrt2\cos\frac\pi4,\ \sqrt2\sin\frac\pi4) = (1, 1)$, dove conosciamo le derivate di $f$.

Derivata rispetto a $r$ ($\theta$ fisso, velocità $(\cos\theta, \sin\theta)$): $$g_r = f_x\cos\theta + f_y\sin\theta$$ con $f_x, f_y$ calcolate in $(r\cos\theta, r\sin\theta)$.

Derivata rispetto a $\theta$ ($r$ fisso, velocità $(-r\sin\theta, r\cos\theta)$), con le regole del prodotto e della catena: $$g_{r\theta} = \big[f_{xx}(-r\sin\theta) + f_{xy}(r\cos\theta)\big]\cos\theta - f_x\sin\theta + \big[f_{yx}(-r\sin\theta) + f_{yy}(r\cos\theta)\big]\sin\theta + f_y\cos\theta$$

Nel punto. $\sin\frac\pi4 = \cos\frac\pi4 = \frac{1}{\sqrt2}$ e $r\sin\theta = r\cos\theta = 1$: $$g_{r\theta} = \frac{1}{\sqrt2}\Big[(-f_{xx} + f_{xy}) - f_x + (-f_{yx} + f_{yy}) + f_y\Big]$$ Per Schwarz $f_{xy} = f_{yx}$, e i due termini misti si cancellano (per questo il testo non dà $f_{xy}$!): $$g_{r\theta}(\sqrt2, \tfrac\pi4) = \frac{1}{\sqrt2}\big(-f_{xx} - f_x + f_{yy} + f_y\big) = \frac{-1 - 1 + 0 + 0}{\sqrt2} = -\frac{2}{\sqrt2} = -\sqrt2$$

Controllo (Python) con una $f$ concreta che rispetta i dati, $f = \frac{(x - 1)^2}{2} + x + 3(x - 1)(y - 1)$ (scelta con $f_{xy} = 3$ arbitrario): $g_{r\theta}(\sqrt2, \frac\pi4) = -\sqrt2$ ✓, indipendentemente dal valore di $f_{xy}$.

Errori comuni

• Valutare le derivate di $f$ nel punto sbagliato: in $F(x, y) = f(x, xy)$ vanno calcolate in $(x, xy)$, non in $(x, y)$.
• Dimenticare la regola del prodotto quando si deriva $y\,f_2(x, xy)$ rispetto a $y$: $y$ dipende da $y$.
• Dimenticare i termini $-f_x\sin\theta$ e $f_y\cos\theta$, che vengono dalla derivata di $\cos\theta$ e $\sin\theta$.