Esercizio 55somme di variabili indipendenti e teorema centrale del limite

Testo.

1. (Appello 3, 2014/15.) Il solaio di una soffitta regge al massimo $1000$ kg. Alla festa invitiamo $16$ amici, il cui peso è una variabile aleatoria di media $70$ kg e varianza $225$ kg². Determinare la probabilità che la soffitta regga.
2. (Appello 4, 5 settembre 2017.) Il QI medio è $100$, con deviazione standard $15$. Usando il TCL, approssimare la probabilità che, in un gruppo a caso di $200$ persone, la media del loro QI superi $101$.
3. (Appello 4, 2017/18.) Il salario medio annuale degli impiegati è $29\,321$ euro, con deviazione standard $2120$ euro. In un campione di $100$ impiegati, qual è la probabilità che il salario medio sia inferiore a $29\,000$ euro? (Usare $\Phi$.)
4. (Appello 4, 2015/16.) Il peso dell'unicorno è normale di media $1000$ kg e varianza $25$ kg². Probabilità che il peso medio di $36$ unicorni scelti a caso superi $1001$ kg?
5. (Appello 3, 9 luglio 2019.) La durata di una pila da orologi ha media $200$ ore e deviazione standard $\sigma$. Per quali $\sigma > 0$, con $100$ pile, si può garantire il funzionamento dell'orologio per almeno $20\,260$ ore con probabilità superiore al $40\%$?
6. (Lezione 8, esercizio (*).) In un gruppo di $100$ persone ognuno dice un numero a caso tra $0$, $1$ e $2$. Probabilità che la somma superi $103$?
7. (Ripassi 3.40, 3.41, 3.43, 3.46 (b).) (a) Il bagaglio di un passeggero pesa in media $15$ kg con varianza $4$; su un volo salgono $144$ persone: probabilità che i bagagli superino $2130$ kg. (b) I gol subiti dal Padova in una partita hanno media $1.25$ e varianza $4$: probabilità di subire almeno $20$ reti nelle prossime $10$ partite. (c) Con le pile del walkman dell'esercizio 53 ($E[T] = \frac{10}3$, $\operatorname{Var}[T] = \frac{25}{18}$), approssimare $P(T_1 + \cdots + T_{72} > 250)$. (d) Con gli errori tipografici dell'esercizio 51 (media $200$, varianza $\frac{400}9$ su $400$ pagine), probabilità di meno di $180$ errori.
8. (Ripassi 3.37.) Una moneta dà testa con probabilità $\frac14$; a ogni lancio si vince $1$ euro con testa e si perde mezzo euro con croce. Dopo $16$ lanci, probabilità di aver guadagnato almeno $1$ euro (con il TCL).

Teoria: Teorema centrale del limite e correzione di continuitàSe X₁, X₂, … sono i.i.d. con media μ e varianza σ², la somma standardizzata (X₁ + ⋯ + Xₙ − nμ)/√(nσ²) tende in distribuzione a N(0,1): P(Sₙ ≤ a) ≈ Φ((a − nμ)/√(nσ²)) per n grande, qualunque sia la legge delle Xᵢ (servono indipendenza e stessa legge). Per la media campionaria: media μ, varianza σ²/n. Casi particolari: B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) per n grande; Po(λ) ≈ N(λ, λ) per λ ≥ 50. Per variabili a valori interi si usa la correzione di continuità: P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0.5), P(X = k) ≈ P(k − 0.5 ≤ Y ≤ k + 0.5).Teorema centrale del limite e correzione di continuità →, Variabili aleatorie normali (gaussiane)Z ~ N(0,1) ha densità e^{−x²/2}/√(2π) (normalizzata grazie all'integrale di Gauss), media 0, varianza 1, funzione di distribuzione Φ tabulata per x ≥ 0, con Φ(−x) = 1 − Φ(x). X ~ N(μ, σ²) se (X − μ)/σ ~ N(0,1), cioè X = μ + σZ: media μ, varianza σ², densità e^{−(x−μ)²/(2σ²)}/√(2πσ²). Si calcola sempre standardizzando: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ). Regola 68-95-99.7: P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 0.683, ≤ 2σ ≈ 0.954, ≤ 3σ ≈ 0.997.Variabili aleatorie normali (gaussiane) →.

Il metodo: identificare le $X_i$ i.i.d., calcolare $\mu$ e $\sigma^2$ di una, poi media $n\mu$ e varianza $n\sigma^2$ della somma (o $\mu$ e $\frac{\sigma^2}n$ della media), e approssimare con la normale. Valori di $\Phi$ controllati con Python.

1. La soffitta

$S = X_1 + \cdots + X_{16}$: media $16\cdot 70 = 1120$ kg, varianza $16\cdot 225 = 3600$, deviazione standard $60$ kg. $$P(S \le 1000) \approx \Phi\left(\frac{1000 - 1120}{60}\right) = \Phi(-2) = 1 - \Phi(2) \approx 0.023$$ La soffitta regge solo nel $2\%$ dei casi: meglio invitare meno amici. (Con $16$ persone il TCL è un'approssimazione; se i pesi fossero esattamente normali sarebbe esatto.)

2. Il QI medio

$\bar X_{200}$ ha media $100$ e deviazione standard $\frac{15}{\sqrt{200}} \approx 1.061$: $$P(\bar X > 101) \approx 1 - \Phi\left(\frac{1}{1.061}\right) = 1 - \Phi(0.94) \approx 0.173$$

3. I salari

$\bar X_{100}$: media $29\,321$, deviazione standard $\frac{2120}{10} = 212$: $$P(\bar X < 29\,000) \approx \Phi\left(\frac{-321}{212}\right) = 1 - \Phi\left(\frac{321}{212}\right) \approx 1 - \Phi(1.51) \approx 0.065$$

4. Gli unicorni

Qui la media di normali indipendenti è esattamente normale: $\bar X \sim N\left(1000, \frac{25}{36}\right)$, deviazione standard $\frac56$: $$P(\bar X > 1001) = 1 - \Phi\left(\frac{1}{5/6}\right) = 1 - \Phi(1.2) \approx 0.1151$$

5. Le pile

Si cambia la pila appena finisce: il tempo totale con $100$ pile è $S = T_1 + \cdots + T_{100}$, media $20\,000$ ore, deviazione standard $10\sigma$. Si vuole $$P(S \ge 20\,260) \approx 1 - \Phi\left(\frac{260}{10\sigma}\right) > 0.4 \iff \Phi\left(\frac{26}{\sigma}\right) < 0.6$$ Dalla tabella $\Phi(0.25) = 0.5987$, $\Phi(0.26) = 0.6026$, quindi $\Phi(z) < 0.6$ per $z < 0.2533$: serve $\frac{26}\sigma < 0.2533$, cioè $$\sigma > 102.6 \text{ ore}$$ Interpretazione: $20\,260$ ore è più della media; superarla con probabilità alta richiede molta variabilità.

6. I numeri $0$, $1$, $2$

Ogni numero è uniforme su $\{0, 1, 2\}$: $\mu = 1$, $E[X^2] = \frac{0 + 1 + 4}{3} = \frac53$, $\sigma^2 = \frac23$. La somma di $100$: media $100$, varianza $\frac{200}{3}$, deviazione standard $8.165$. La somma è intera, quindi "supera $103$" significa $\ge 104$, e con la correzione di continuità $$P(S \ge 104) \approx 1 - \Phi\left(\frac{103.5 - 100}{8.165}\right) = 1 - \Phi(0.43) \approx 0.334$$ (senza correzione $1 - \Phi(0.37) \approx 0.357$).

7. Dai Ripassi

(a) I bagagli. Somma: media $144\cdot 15 = 2160$, varianza $576$, deviazione standard $24$. $P(S > 2130) \approx 1 - \Phi\left(\frac{-30}{24}\right) = \Phi(1.25) \approx 0.894$.

(b) I gol. In $10$ partite: media $12.5$, varianza $40$, deviazione standard $6.32$. I gol sono interi: $P(S \ge 20) \approx 1 - \Phi\left(\frac{19.5 - 12.5}{6.32}\right) = 1 - \Phi(1.11) \approx 0.134$.

(c) Le pile del walkman. $72$ pile: media $72\cdot\frac{10}3 = 240$ ore, varianza $72\cdot\frac{25}{18} = 100$, deviazione standard $10$. L'evento $T_1 + \cdots + T_{72} > 250$ significa che $72$ pile bastano per più di $250$ ore di ascolto: $$P \approx 1 - \Phi\left(\frac{250 - 240}{10}\right) = 1 - \Phi(1) \approx 0.159$$

(d) Gli errori. Il totale è intero: $P(T < 180) = P(T \le 179) \approx \Phi\left(\frac{179.5 - 200}{20/3}\right) = \Phi(-3.08) \approx 0.001$.

8. La moneta truccata

Con $H$ = numero di teste in $16$ lanci, il guadagno è $G = H\cdot 1 - (16 - H)\cdot\frac12 = \frac32H - 8$, e $G \ge 1 \iff H \ge 6$. $H \sim B\left(16, \frac14\right)$: media $4$, varianza $3$. Con la correzione di continuità: $$P(H \ge 6) \approx 1 - \Phi\left(\frac{5.5 - 4}{\sqrt3}\right) = 1 - \Phi(0.87) \approx 0.19$$ Il valore esatto della binomiale è $0.190$. (Applicando il TCL direttamente al guadagno per lancio, di media $-\frac18$ e varianza $\frac{27}{64}$, senza correzione si otterrebbe $\approx 0.12$: con solo $16$ lanci la correzione di continuità conta.)

Errori comuni

• Usare la deviazione standard della singola variabile per la somma o per la media.
• Dimenticare la correzione di continuità quando la somma è intera (esercizi 6, 7b, 7d, 8).
• Nel punto 5, risolvere $\Phi(\dots) > 0.6$ invece di $< 0.6$ (si vuole la coda destra maggiore di $0.4$).