Campi conservativi e irrotazionali

Lezione 5 di analisi, Unità 5. Prerequisiti: Integrale curvilineo di un campo vettorialeL'integrale di un campo F lungo un cammino r : [a,b] → D è ∫_r F·dr = ∫ₐᵇ F(r(t))·r'(t) dt: per un campo di forze è il lavoro. Si scrive anche ∫_r F·T ds (T versore tangente) o ∫_r F₁ dx₁ + … + Fₙ dxₙ (notazione "termodinamica"); su un circuito si parla di circuitazione ∮. È lineare, additivo per giustapposizione, e CAMBIA SEGNO invertendo il verso di percorrenza.Integrale curvilineo di un campo vettoriale →, Campi vettoriali, campi radiali e campi gradienteUn campo vettoriale è F : D ⊆ Rⁿ → Rⁿ (a ogni punto un vettore: velocità di un fluido, forza). Radiale: F(x) = g(|x|) x/|x| (diretto come il raggio, intensità dipendente solo dalla distanza), come i campi gravitazionale ed elettrico K x/|x|³. Gradiente: F = ∇U con U ∈ C¹ (U è una primitiva; in fisica il potenziale è −U); su un aperto connesso le primitive differiscono per una costante. Ogni campo radiale continuo è gradiente, con primitiva G(|x|) dove G' = g.Campi vettoriali, campi radiali e campi gradiente →, Derivate seconde e matrice hessianaLe derivate seconde ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ = ∂ᵢ(∂ⱼf) si ottengono derivando una derivata parziale. La matrice hessiana Hess f(p) raccoglie le n² derivate seconde (riga i, colonna j: ∂ᵢ∂ⱼf). Teorema di Schwarz: se f è C² (derivate seconde continue) le derivate miste coincidono, ∂ᵢ∂ⱼf = ∂ⱼ∂ᵢf, quindi l'hessiana è simmetrica. Servirà per classificare i punti critici.Derivate seconde e matrice hessiana → (Schwarz).

Campi conservativi

Definizione. Un campo continuo $F : D \to \mathbb{R}^n$ è conservativo se per ogni coppia di cammini $r_1$, $r_2$ in $D$ con gli stessi estremi $$\int_{r_1}F\cdot dr = \int_{r_2}F\cdot dr$$ o, equivalentemente, se per ogni circuito $r$ in $D$ si ha $\oint_r F\cdot dr = 0$.

Le due condizioni sono equivalenti: dati $r_1$, $r_2$ con gli stessi estremi, $r_1r_2^{-1}$ è un circuito e $\oint_{r_1r_2^{-1}} = \int_{r_1} - \int_{r_2}$.

Il nome: per una forza conservativa (come la gravità) il lavoro fatto su un percorso chiuso è nullo, e l'energia si conserva.

Un campo non conservativo: il vortice. $F(x, y) = \left(-\frac{y}{x^2 + y^2},\ \frac{x}{x^2 + y^2}\right)$ su $\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$, lungo il cerchio $r(t) = (\cos t, \sin t)$, $t \in [0, 2\pi]$. Sul cerchio $x^2 + y^2 = 1$, quindi $F(r(t)) = (-\sin t, \cos t)$ e $$\oint_r F\cdot dr = \int_0^{2\pi}(-\sin t, \cos t)\cdot(-\sin t, \cos t)\,dt = \int_0^{2\pi}1\,dt = 2\pi \ne 0$$ Il campo gira attorno all'origine nello stesso verso del cerchio, e "spinge" sempre in avanti: non è conservativo.

Il teorema fondamentale dei campi gradiente

Teorema. Sia $F = \nabla U$ un campo gradiente su $D$ e $r : [a, b] \to D$ un cammino. Allora $$\int_r F\cdot dr = U(r(b)) - U(r(a))$$ In particolare ogni campo gradiente è conservativo. Vale anche il viceversa: un campo conservativo è un campo gradiente.

Dimostrazione (della formula). Per la regola della catenaSe x(t) è una curva derivabile e f è differenziabile in x(t₀), allora (f∘x)'(t₀) = ∇f(x(t₀))·x'(t₀) = Σ ∂ᵢf(x(t₀)) xᵢ'(t₀): la variazione di f lungo il moto è il gradiente per la velocità. Serve per derivare composte come f(2t, t²), per ricavare il gradiente da informazioni lungo curve, per le derivate di f(g(s,t)) e per provare che il gradiente è ortogonale alle curve di livello.Regola della catena in più variabili →, $\frac{d}{dt}U(r(t)) = \nabla U(r(t))\cdot r'(t)$, quindi $$\int_r F\cdot dr = \int_a^b\nabla U(r(t))\cdot r'(t)\,dt = \int_a^b\frac{d}{dt}U(r(t))\,dt = U(r(b)) - U(r(a))$$ per il teorema fondamentale del calcoloUna primitiva di f è una G con G' = f; due primitive differiscono per una costante, e l'integrale indefinito ∫f(x)dx = F(x) + k è l'insieme di tutte le primitive. La funzione integrale F_a(x) = ∫ da a a x di f è una primitiva di f continua (TFCI 2), e quindi ∫ da a a b di f = G(b) − G(a) per qualunque primitiva G (TFCI 1): gli integrali definiti si calcolano con le primitive.Primitive e teoremi fondamentali del calcolo integrale → ∎. È la versione in più variabili di $\int_a^b f = F(b) - F(a)$.

Idea del viceversa: se $F$ è conservativo, fissato $x_0$ si definisce $U(x) := \int_r F\cdot dr$ lungo un qualsiasi cammino da $x_0$ a $x$ (il risultato non dipende dal cammino) e si verifica che $\nabla U = F$.

Esempio del prof. $U(x, y) = y^2\sin x$ e $r$ un qualsiasi cammino dall'origine a $\left(\frac\pi2, 1\right)$: $$\int_r\nabla U\cdot dr = U\left(\tfrac\pi2, 1\right) - U(0, 0) = 1\cdot 1 - 0 = 1$$ senza nemmeno sapere com'è fatto il cammino.

Conseguenza pratica: se si riconosce che un campo è gradiente e se ne trova una primitiva, ogni integrale curvilineo si calcola con due valutazioni, invece che con un integrale (spesso difficile).

Campi irrotazionali: una condizione necessaria

Definizione. Sia $D$ aperto. Un campo $F : D \to \mathbb{R}^n$ di classe $C^1$ è irrotazionale se $$\partial_{x_j}F_i = \partial_{x_i}F_j \qquad \text{per ogni } i, j$$

Nel piano è una sola condizione: $\partial_y F_1 = \partial_x F_2$. Nello spazio sono tre: $\partial_y F_1 = \partial_x F_2$, $\partial_z F_1 = \partial_x F_3$, $\partial_z F_2 = \partial_y F_3$.

Il rotore (in $\mathbb{R}^3$): $\operatorname{rot}F = (\partial_y F_3 - \partial_z F_2,\ \partial_z F_1 - \partial_x F_3,\ \partial_x F_2 - \partial_y F_1)$. Irrotazionale significa $\operatorname{rot}F = 0$. Interpretazione (del prof): se $F$ è il campo delle velocità di un fluido e vi si immerge una pallina ruvida, la pallina ruota attorno all'asse diretto come il rotore, con velocità angolare pari a metà della norma del rotore. Irrotazionale: le palline non ruotano su sé stesse.

Esempio del prof. $F(x_1, x_2) = (2x_1e^{x_2^3},\ 3x_1^2x_2^2e^{x_2^3})$: $\partial_{x_2}F_1 = 6x_1x_2^2e^{x_2^3} = \partial_{x_1}F_2$. Irrotazionale.

Proposizione (test delle derivate miste). Se $F$ è $C^1$ e conservativo su un aperto, allora è irrotazionale.

Dimostrazione. $F = \nabla U$, quindi $F_k = \partial_{x_k}U$ e $U \in C^2$. Per il teorema di Schwarz: $$\partial_{x_i}F_j = \partial_{x_i}\partial_{x_j}U = \partial_{x_j}\partial_{x_i}U = \partial_{x_j}F_i$$ ∎

Uso: se le derivate miste non coincidono, il campo non è conservativo, e si è finito.

Il viceversa è falso. Il vortice $F = \left(-\frac{y}{x^2 + y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2}\right)$ è irrotazionale: $$\partial_y F_1 = -\frac{(x^2 + y^2) - 2y^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}, \qquad \partial_x F_2 = \frac{(x^2 + y^2) - 2x^2}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{y^2 - x^2}{(x^2 + y^2)^2}$$ ma, come visto, non è conservativo. Il problema è il buco nell'origine.

Domini semplicemente connessi: quando irrotazionale basta

Definizione. Un aperto $D$ è semplicemente connesso se ogni circuito in $D$ si può contrarre con continuità a un punto restando dentro $D$.

Intuitivamente: $D$ non ha "buchi" attorno a cui un circuito possa restare impigliato.

• Sono semplicemente connessi: $\mathbb{R}^n$, i convessi (dischi, rettangoli, semipiani), gli insiemi stellati rispetto a un punto $x_0$ (per ogni $x \in D$ il segmento $[x_0, x]$ sta in $D$), e $\mathbb{R}^3$ privato di un punto.
• Non lo sono: il piano privato di un punto o di un disco (connesso, ma con un buco), lo spazio privato di una retta o di un cilindro.

Teorema. Se $D$ è un aperto semplicemente connesso e $F : D \to \mathbb{R}^n$ è $C^1$ e irrotazionale, allora $F$ è conservativo. Corollario. Ogni campo $C^1$ irrotazionale su un aperto è localmente conservativo: attorno a ogni punto (in una palla) ha una primitiva.

Trovare una primitiva: il metodo delle integrazioni parziali

Se $U$ è $C^1$ su un rettangolo, $\partial_{x_1}U = 0 \iff U$ non dipende da $x_1$: $U = \varphi(x_2, \dots, x_n)$.

Metodo (nel piano, per $F = (F_1, F_2)$ conservativo):

1. Da $\partial_x U = F_1$: si integra $F_1$ rispetto a $x$ tenendo $y$ fisso: $U = \int F_1\,dx + \varphi(y)$, dove la "costante" di integrazione può dipendere da $y$.
2. Si deriva rispetto a $y$ e si impone $\partial_y U = F_2$: si ricava $\varphi'(y)$ (che deve dipendere solo da $y$: se compare $x$ c'è un errore, o il campo non è conservativo).
3. Si integra $\varphi'$ e si ottiene $U$ (a meno di una costante).

Esempio del prof. $F(x, y) = (5x^4 - y\sin(xy),\ -x\sin(xy))$ su $\mathbb{R}^2$. Irrotazionale: $\partial_y F_1 = -\sin(xy) - xy\cos(xy) = \partial_x F_2$. Il piano è semplicemente connesso, quindi conservativo.

1. $U = \int(5x^4 - y\sin(xy))\,dx = x^5 + \cos(xy) + \varphi(y)$ (perché $\partial_x\cos(xy) = -y\sin(xy)$).
2. $\partial_y U = -x\sin(xy) + \varphi'(y) = F_2 = -x\sin(xy)$, quindi $\varphi'(y) = 0$.
3. $\varphi = c$: $U = x^5 + \cos(xy) + c$.

Esempio del prof. $F(x_1, x_2) = (2x_1e^{x_2^3},\ 3x_1^2x_2^2e^{x_2^3} + x_2^4)$, irrotazionale su $\mathbb{R}^2$. $U = \int 2x_1e^{x_2^3}\,dx_1 = x_1^2e^{x_2^3} + \varphi(x_2)$; poi $\partial_{x_2}U = 3x_1^2x_2^2e^{x_2^3} + \varphi'(x_2)$, da cui $\varphi' = x_2^4$ e $\varphi = \frac{x_2^5}{5}$. $U = x_1^2e^{x_2^3} + \frac{x_2^5}{5} + c$.

Nello spazio si procede allo stesso modo, una variabile alla volta. Esempio del prof: $F(x, y, z) = (2xyz,\ z + x^2z,\ 2 + y + x^2y)$. Irrotazionale ($\partial_y F_1 = 2xz = \partial_x F_2$, $\partial_z F_1 = 2xy = \partial_x F_3$, $\partial_z F_2 = 1 + x^2 = \partial_y F_3$) su $\mathbb{R}^3$, quindi conservativo.

1. $U = \int 2xyz\,dx = x^2yz + \varphi(y, z)$.
2. $\partial_y U = x^2z + \partial_y\varphi = z + x^2z \Rightarrow \partial_y\varphi = z \Rightarrow \varphi = yz + \psi(z)$.
3. $\partial_z U = x^2y + y + \psi'(z) = 2 + y + x^2y \Rightarrow \psi' = 2 \Rightarrow \psi = 2z$.

$U = x^2yz + yz + 2z + c$.

Il piano bucato

Sul piano privato di alcuni punti, l'irrotazionalità non basta, ma basta poco di più:

Proposizione. Sia $\Omega \subseteq \mathbb{R}^2$ aperto semplicemente connesso, $a_1, \dots, a_m \in \Omega$, e $F$ un campo $C^1$ irrotazionale su $D = \Omega \setminus \{a_1, \dots, a_m\}$. Allora $F$ è conservativo se e solo se, scelti $m$ cerchi $\gamma_1, \dots, \gamma_m$ in $D$, ciascuno attorno a uno solo dei punti $a_i$, si ha $\oint_{\gamma_i}F\cdot dr = 0$ per ogni $i$.

Esempio del prof. $F(x, y) = \left(\frac{x}{x^2 + y^2}, \frac{y}{x^2 + y^2}\right)$ su $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$. È irrotazionale ($\partial_y F_1 = -\frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2} = \partial_x F_2$) ed è radiale ($F = \frac{1}{|x|}\frac{x}{|x|}$, $g(r) = \frac1r$), quindi conservativo, con primitiva $\log|x| = \frac12\log(x^2 + y^2)$. In accordo con la proposizione: sul cerchio unitario $F(r(t))\cdot r'(t) = (\cos t, \sin t)\cdot(-\sin t, \cos t) = 0$.

Il vortice, localmente. Il vortice non ha primitiva su tutto il piano bucato, ma ne ha una attorno a ogni punto. Attorno a $(1, 1)$, nel semipiano $x > 0$ (convesso): $$U(x, y) = \arctan\frac yx$$ Infatti $\partial_x\arctan\frac yx = \frac{1}{1 + y^2/x^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) = -\frac{y}{x^2 + y^2}$ e $\partial_y\arctan\frac yx = \frac{1}{1 + y^2/x^2}\cdot\frac1x = \frac{x}{x^2 + y^2}$. $U$ è l'angolo polare $\theta$, che non si può definire con continuità su tutto il piano bucato: facendo un giro aumenta di $2\pi$, ed è esattamente la circuitazione trovata all'inizio.

Schema per decidere se un campo è conservativo

1. Irrotazionale? Se le derivate miste non coincidono: non conservativo.
2. Se è irrotazionale e il dominio è semplicemente connesso: conservativo; primitiva con le integrazioni parziali (o, se il campo è radiale, con $G(|x|)$).
3. Se è irrotazionale ma il dominio ha buchi (nel piano): si calcola la circuitazione su un cerchio attorno a ogni buco; se sono tutte nulle è conservativo, altrimenti no. In alternativa si prova a esibire una primitiva su tutto il dominio.
4. Per gli integrali: con una primitiva $U$, $\int_r F\cdot dr = U(\text{fine}) - U(\text{inizio})$.

Esercizi: Esercizio 25 · integrali di campi lungo cicloide, spirale e cerchio, Esercizio 26 · campi conservativi e primitive, Esercizio 27 · campi irrotazionali sul piano bucato.

Errori comuni

• Dedurre "conservativo" da "irrotazionale" senza controllare il dominio (il vortice).
• Nelle integrazioni parziali, dimenticare che la costante può dipendere dalle altre variabili.
• Usare $\arctan\frac yx$ come primitiva su tutto il piano bucato: non è nemmeno definita per $x = 0$, e nessuna funzione continua può fare da primitiva del vortice su tutto $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\}$.