Esercizio 51valori attesi, varianze e i cappelli

Testo.

1. (Lezione 6 di probabilità.) Sia $X$ una v.a. con $\operatorname{Im}(X) = \{-1, 0, 1\}$, $p_X(-1) = \frac13$, $p_X(0) = \frac16$, $p_X(1) = \frac12$. Calcolare $E[X]$, $E[X^2]$ e $\operatorname{Var}[X]$.
2. (Lezione 6.) Si lancia più volte un dado equilibrato. Quanti lanci ci aspettiamo di fare in media affinché appaia la prima volta il $5$? Con quale deviazione standard?
3. (Lezione 6.) Dieci persone lasciano il cappello all'ingresso e all'uscita ognuno ne prende uno a caso. Sia $X$ il numero di persone che riprendono il proprio cappello. Calcolare $E[X]$ e $\operatorname{Var}[X]$. Che cosa cambia con $n$ persone?
4. (Ripassi 3.48 (a).) Siano $X_i$, $i = 1, 2$, variabili di Bernoulli indipendenti di parametro $\frac{1}{i+1}$, e $X = X_1 + X_2$. Calcolare la densità discreta di $X$, il suo valore atteso e la sua varianza.
5. (Ripassi 3.46 (a).) Il numero di errori tipografici di ogni pagina di un libro è una variabile di media $\frac12$ e varianza $\frac19$, indipendente da pagina a pagina. Il libro ha $400$ pagine: determinare media e varianza del numero complessivo di errori.

Teoria: Valore atteso di variabili discreteIl valore atteso di una v.a. discreta è la media dei valori pesata con le probabilità, E[X] = Σ xₖ P(X = xₖ) (se la serie converge assolutamente): il "baricentro" della distribuzione. Valori notevoli: Be(p) → p, B(n,p) → np, Po(λ) → λ, Ge(p) → 1/p. Per le composte E[g(X)] = Σ g(x) pₓ(x), senza cercare la legge di g(X); linearità E[aX + b] = aE[X] + b e E[X₁ + ⋯ + Xₘ] = Σ E[Xᵢ] sempre (anche senza indipendenza: i cappelli); E[XY] = E[X]E[Y] se X, Y sono indipendenti.Valore atteso di variabili discrete →, Varianza e covarianza di variabili discreteVar[X] = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² misura la dispersione attorno alla media μ = E[X]; σ = √Var è la deviazione standard. Var[aX + b] = a² Var[X]; la normalizzata (X − μ)/σ ha media 0 e varianza 1. Varianze notevoli: Be(p) → p(1−p), B(n,p) → np(1−p), Po(λ) → λ, Ge(p) → (1−p)/p². Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y]; variabili indipendenti hanno covarianza nulla, ma non vale il viceversa (X uniforme su {−1,0,1} e X²). Var[X + Y] = Var X + Var Y + 2 Cov[X,Y]: per indipendenti le varianze si sommano.Varianza e covarianza di variabili discrete →.

1. Media e varianza di una variabile con tre valori

$$E[X] = -\frac13 + 0 + \frac12 = \frac16, \qquad E[X^2] = (-1)^2\frac13 + 0 + 1^2\frac12 = \frac56$$ $$\operatorname{Var}[X] = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac56 - \frac1{36} = \frac{29}{36} \approx 0.81, \qquad \sigma_X = \frac{\sqrt{29}}{6} \approx 0.90$$

2. L'attesa del primo $5$

Il numero di lanci è $X \sim \operatorname{Ge}\left(\frac16\right)$: $$E[X] = \frac{1}{1/6} = 6, \qquad \operatorname{Var}[X] = \frac{1 - \frac16}{\left(\frac16\right)^2} = \frac56\cdot 36 = 30, \qquad \sigma_X = \sqrt{30} \approx 5.5$$ La deviazione standard è quasi pari alla media: l'attesa è molto variabile (a volte il $5$ esce subito, a volte servono più di $15$ lanci).

3. I cappelli

Con $X_i = 1$ se la persona $i$ riprende il proprio cappello: $X_i \sim \operatorname{Be}\left(\frac1{10}\right)$ e $X = X_1 + \cdots + X_{10}$.

Media (linearità, senza indipendenza): $E[X] = 10\cdot\frac1{10} = 1$.

Varianza. Le $X_i$ non sono indipendenti, quindi servono le covarianze:

• $\operatorname{Var}[X_i] = \frac1{10}\cdot\frac9{10} = \frac9{100}$;
• per $i \ne j$, $X_iX_j = 1$ se entrambi riprendono il proprio cappello: la persona $i$ prende il suo con probabilità $\frac1{10}$, e sapendolo, $j$ prende il suo tra i $9$ rimasti con probabilità $\frac19$ (formula del prodotto). Quindi $E[X_iX_j] = \frac1{90}$ e $\operatorname{Cov}[X_i, X_j] = \frac1{90} - \frac1{100} = \frac{1}{900}$ (positiva: se uno ritrova il suo, aumentano le possibilità degli altri).

$$\operatorname{Var}[X] = \sum_i\operatorname{Var}[X_i] + \sum_{i \ne j}\operatorname{Cov}[X_i, X_j] = 10\cdot\frac9{100} + 10\cdot 9\cdot\frac1{900} = 0.9 + 0.1 = 1$$

Con $n$ persone: $E[X] = n\cdot\frac1n = 1$, $\operatorname{Var}[X_i] = \frac1n\left(1 - \frac1n\right)$, $\operatorname{Cov}[X_i, X_j] = \frac{1}{n(n-1)} - \frac1{n^2} = \frac{1}{n^2(n-1)}$, e $$\operatorname{Var}[X] = n\cdot\frac{n - 1}{n^2} + n(n - 1)\cdot\frac{1}{n^2(n - 1)} = \frac{n - 1}{n} + \frac1n = 1$$ Media e varianza non dipendono da $n$.

4. Somma di due Bernoulli con parametri diversi

$X_1 \sim \operatorname{Be}\left(\frac12\right)$, $X_2 \sim \operatorname{Be}\left(\frac13\right)$, indipendenti. $X$ vale $0, 1, 2$: $$P(X = 0) = \frac12\cdot\frac23 = \frac13, \quad P(X = 1) = \frac12\cdot\frac23 + \frac12\cdot\frac13 = \frac12, \quad P(X = 2) = \frac12\cdot\frac13 = \frac16$$ (somma $1$ ✓). Non è binomiale (i parametri sono diversi). Media e varianza con la linearità e l'indipendenza: $$E[X] = \frac12 + \frac13 = \frac56, \qquad \operatorname{Var}[X] = \frac12\cdot\frac12 + \frac13\cdot\frac23 = \frac14 + \frac29 = \frac{17}{36}$$ Controllo: $E[X] = 0\cdot\frac13 + 1\cdot\frac12 + 2\cdot\frac16 = \frac56$ ✓; $E[X^2] = \frac12 + \frac46 = \frac76$ e $\frac76 - \frac{25}{36} = \frac{17}{36}$ ✓.

5. Gli errori tipografici

Sia $E_k$ il numero di errori nella pagina $k$: $E[E_k] = \frac12$, $\operatorname{Var}[E_k] = \frac19$, indipendenti. Il totale $T = E_1 + \cdots + E_{400}$ ha $$E[T] = 400\cdot\frac12 = 200, \qquad \operatorname{Var}[T] = 400\cdot\frac19 = \frac{400}{9}\ (\text{per l'indipendenza}), \qquad \sigma_T = \frac{20}{3} \approx 6.7$$ La probabilità che il libro abbia meno di $180$ errori (la parte (b) dell'esercizio) si stima con il teorema centrale del limite: vedi la nota sul teorema centrale del limiteSe X₁, X₂, … sono i.i.d. con media μ e varianza σ², la somma standardizzata (X₁ + ⋯ + Xₙ − nμ)/√(nσ²) tende in distribuzione a N(0,1): P(Sₙ ≤ a) ≈ Φ((a − nμ)/√(nσ²)) per n grande, qualunque sia la legge delle Xᵢ (servono indipendenza e stessa legge). Per la media campionaria: media μ, varianza σ²/n. Casi particolari: B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) per n grande; Po(λ) ≈ N(λ, λ) per λ ≥ 50. Per variabili a valori interi si usa la correzione di continuità: P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0.5), P(X = k) ≈ P(k − 0.5 ≤ Y ≤ k + 0.5).Teorema centrale del limite e correzione di continuità →.

Errori comuni

• Calcolare la varianza dei cappelli come se le $X_i$ fossero indipendenti ($0.9$ invece di $1$).
• Sommare le deviazioni standard invece delle varianze nell'esercizio 5 ($400\cdot\frac13$ invece di $\sqrt{400/9}$).