Esercizio 52densità e funzioni di distribuzione continue

Testo.

1. (Lezione 7 di probabilità.) Un pacco viene recapitato dopo mezzogiorno (ore $0$). L'istante di consegna è una variabile continua $T$ con densità $f_T(t) = \frac{t}{10}$ per $t \in [0, 2]$, $f_T(t) = c$ per $t \in\, ]2, 6]$, $f_T(t) = 0$ per $t \ge 6$ (e per $t < 0$). (1) Trovare $c$; (2) determinare la funzione di distribuzione di $T$; (3) qual è la probabilità che il pacco arrivi tra l'$1$ e le $5$?
2. (Lezione 7.) Sia $X$ una variabile aleatoria con funzione di ripartizione $F_X(x) = \frac12e^x$ per $x < 0$, $F_X(x) = \frac12 + x$ per $x \in \left[0, \frac12\right[$, $F_X(x) = d$ per $x \ge \frac12$. (1) Trovare $d$ affinché $F_X$ sia effettivamente una funzione di ripartizione; (2) provare che $X$ è una variabile aleatoria continua e determinarne la densità; (3) calcolare $P(X \in [-1, 1])$.
3. (Lezione 7.) Siano $f(t) = e^{-t^2}$ per $t < 1$, $f(t) = t^3 + 5$ per $t \ge 1$, e $F(x) = \int_{-\infty}^x f(t)\,dt$. Calcolare, se esiste, $F'(x)$ per $x \in \mathbb{R}$.
4. (Ripassi 3.35.) Sia $X$ uniforme su $[0, 1]$. Determinare la funzione di distribuzione e la densità della v.a. $Y = e^X$.
5. (Ripassi 3.45.) Sia $F_X(x) = 0$ per $x \le 0$, $F_X(x) = 6x^4 - 8x^3 + 3x^2$ per $0 < x < 1$, $F_X(x) = 1$ per $x \ge 1$. (a) Determinare la densità di $X$; (b) determinare il valore atteso di $X$.

Teoria: Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenzialeX è continua se esiste una densità fₓ ≥ 0 con P(X ∈ (a,b)) = ∫ₐᵇ fₓ e ∫R fₓ = 1; allora P(X = x) = 0 per ogni x, Fₓ(x) = ∫{−∞}^x fₓ, e se Fₓ è continua e C¹ a tratti X è continua con fₓ = Fₓ'. Uniforme U(a,b): densità 1/(b−a) su (a,b), P(X ∈ [c,d]) = (d−c)/(b−a). Esponenziale Exp(λ): tempo d'attesa del primo evento in un processo di Poisson, P(T > t) = e^{−λt}, densità λe^{−λt} per t > 0; è senza memoria: P(T > t + s | T > s) = P(T > t). Per Y = g(X) con g monotona si passa dalla funzione di distribuzione.Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale →, Valore atteso e varianza di variabili continuePer X continua con densità fₓ: E[X] = ∫ x fₓ(x) dx (se |x| fₓ è integrabile in senso generalizzato), il baricentro della densità; E[g(X)] = ∫ g(x) fₓ(x) dx; Var[X] = E[X²] − E[X]². Valgono monotonia, linearità, Var[aX + b] = a² Var X, e Var[X + Y] = Var X + Var Y per indipendenti. U(a,b): media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Exp(λ): media 1/λ, varianza 1/λ² (deviazione standard = media); la mediana ln2/λ è minore della media.Valore atteso e varianza di variabili continue →.

1. Il pacco

(1) Normalizzazione. L'integrale della densità deve essere $1$: $$\int_0^2\frac{t}{10}\,dt + \int_2^6 c\,dt = \frac{4}{20} + 4c = \frac15 + 4c = 1 \quad\Longrightarrow\quad c = \frac15$$

(2) Funzione di distribuzione (integrale della densità da $-\infty$ a $t$, pezzo per pezzo):

• $t < 0$: $F_T(t) = 0$;
• $0 \le t \le 2$: $F_T(t) = \int_0^t\frac{s}{10}\,ds = \frac{t^2}{20}$ (in $t = 2$ vale $\frac15$);
• $2 < t \le 6$: $F_T(t) = \frac15 + \frac{t - 2}{5}$ (in $t = 6$ vale $1$);
• $t > 6$: $F_T(t) = 1$.

È continua (i pezzi si raccordano) e crescente ✓.

(3) $P(1 \le T \le 5) = F_T(5) - F_T(1) = \left(\frac15 + \frac35\right) - \frac1{20} = \frac45 - \frac1{20} = \frac34$.

2. Una funzione di ripartizione da completare

(1) $F_X$ deve tendere a $1$ per $x \to +\infty$, e per $x \ge \frac12$ è costante, quindi $d = 1$. Con $d = 1$ è anche continua in $\frac12$ (il limite da sinistra è $\frac12 + \frac12 = 1$) e in $0$ ($\frac12e^0 = \frac12$), crescente, con limite $0$ a $-\infty$ ✓.

(2) $F_X$ è continua e $C^1$ a tratti (derivabile tranne in $0$ e $\frac12$), quindi $X$ è continua con densità $f_X = F_X'$: $$f_X(x) = \begin{cases} \frac12e^x & x < 0 \\ 1 & 0 < x < \frac12 \\ 0 & x > \frac12 \end{cases}$$ (Controllo: $\int_{-\infty}^0\frac12e^x + \int_0^{1/2}1 = \frac12 + \frac12 = 1$ ✓.)

(3) $P(X \in [-1, 1]) = F_X(1) - F_X(-1) = 1 - \frac12e^{-1} \approx 0.816$ (per una continua gli estremi non contano).

3. Derivata di una funzione integrale

$f$ è continua su $]-\infty, 1[$ e su $]1, +\infty[$, con un salto in $1$ ($\lim_{t \to 1^-}f = e^{-1}$, $f(1) = 6$). $F(x)$ è finito per ogni $x$ ($e^{-t^2}$ è integrabile su $]-\infty, 1[$, e $t^3 + 5$ su intervalli limitati). Per il teorema fondamentale del calcolo:

• per $x \ne 1$: $F'(x) = f(x)$, cioè $e^{-x^2}$ per $x < 1$ e $x^3 + 5$ per $x > 1$;
• in $x = 1$: la derivata sinistra è $e^{-1}$, la destra $6$: $F'(1)$ non esiste ($F$ ha un punto angoloso).

(Questa $F$ non è una funzione di distribuzione: tende a $+\infty$. È un esercizio sul teorema fondamentale, che serve a ricavare le densità dalle funzioni di ripartizione.)

4. $Y = e^X$ con $X \sim U(0, 1)$

$Y$ assume valori in $[1, e]$. Per $1 \le y \le e$, siccome $\log$ è crescente: $$F_Y(y) = P(e^X \le y) = P(X \le \log y) = \log y$$ con $F_Y(y) = 0$ per $y < 1$ e $1$ per $y > e$. Derivando: $$f_Y(y) = \frac1y \quad \text{per } 1 < y < e, \qquad 0 \text{ altrimenti}$$ (Controllo: $\int_1^e\frac{dy}{y} = 1$ ✓.) $Y$ non è uniforme: i valori vicini a $1$ sono più probabili, perché l'esponenziale "stira" di più l'intervallo verso destra.

5. Densità da una funzione di ripartizione polinomiale

(a) $F_X$ è continua (in $0$ vale $0$, in $1$ vale $6 - 8 + 3 = 1$) e $C^1$ a tratti: $$f_X(x) = 24x^3 - 24x^2 + 6x = 6x\,(2x - 1)^2 \quad (0 < x < 1), \qquad 0 \text{ altrimenti}$$ (è $\ge 0$ ✓, e si annulla in $x = \frac12$).

(b) $$E[X] = \int_0^1 x(24x^3 - 24x^2 + 6x)\,dx = \frac{24}{5} - 6 + 2 = \frac45$$

Errori comuni

• Nel pacco, dimenticare il contributo $\frac15$ di $[0, 2]$ quando si scrive $F_T$ su $]2, 6]$.
• Prendere $d$ diverso da $1$: una funzione di ripartizione tende sempre a $1$.
• Credere che una funzione di una uniforme sia uniforme.