Derivata di una curva e retta tangente

Lezione 1 di analisi, Unità 3. Prerequisiti: Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno →, Derivata - definizione e significatoLa derivata è il limite del rapporto incrementale; geometricamente è la pendenza della retta tangente. f è derivabile in x0 se e solo se f(x) = f(x0) + f'(x0)(x − x0) + o(x − x0); derivabile implica continua, non viceversa. Derivata destra e sinistra, punti angolosi, flessi a tangente verticale, cuspidi.Derivata - definizione e significato → (in una variabile).

Definizione

Definizione. Sia $f : I \to \mathbb{R}^n$ e $t_0 \in I$. $f$ è derivabile in $t_0$ se esiste in $\mathbb{R}^n$ il limite $$f'(t_0) := \lim_{t \to t_0} \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0}$$ detto derivata di $f$ in $t_0$.

Il rapporto incrementale è un vettore: $f(t) - f(t_0)$ è lo spostamento tra i due istanti, diviso per il tempo trascorso $t - t_0$. È quindi una velocità media, e il limite è la velocità istantanea $f'(t_0)$: un vettore che indica direzione e verso del moto, e la cui norma $|f'(t_0)|$ è la velocità scalare (quella del tachimetro).

Proposizione (componente per componente). $f = (f_1, \dots, f_n)$ è derivabile in $t_0$ se e solo se lo sono tutte le componenti, e in tal caso $$f'(t_0) = (f_1'(t_0), \dots, f_n'(t_0))$$

Segue subito dal limite componente per componente applicato al rapporto incrementale, la cui $i$-esima componente è $\frac{f_i(t) - f_i(t_0)}{t - t_0}$.

Esempio. $f(t) = (\cos t, e^{2t})$ è derivabile in ogni $t$ e $f'(t) = (-\sin t, 2e^{2t})$.

Una curva si dice di classe $C^1$ se è derivabile e $f'$ è continua (cioè ogni componente è $C^1$).

Vettore tangente e retta tangente

Definizione. Se $f$ è derivabile in $t_0$ e $f'(t_0) \ne 0$, il vettore $f'(t_0)$ si dice vettore tangente alla curva in $t_0$, e la retta tangente è $$\{f(t_0) + \lambda\,f'(t_0) : \lambda \in \mathbb{R}\}$$ La curva è regolare se $f'(t) \ne 0$ per ogni $t$.

Perché si richiede $f'(t_0) \ne 0$: con velocità nulla la direzione del moto non è determinata, e il sostegno può avere una punta. L'astroide $(\cos^3 t, \sin^3 t)$ ha derivata $(-3\cos^2 t\sin t,\ 3\sin^2 t\cos t)$, nulla per $t = 0, \frac\pi2, \pi, \frac{3\pi}2$: proprio nelle quattro punte, dove una retta tangente non c'è.

Attenzione: il vettore tangente è della curva (della funzione), non del sostegno. Lo stesso punto del sostegno può essere attraversato più volte con velocità diverse, e una curva che percorre il sostegno più in fretta ha vettore tangente più lungo (stessa direzione, norma diversa).

Esempio (curva cartesiana). Per $f(t) = (t, h(t))$ si ha $f'(t) = (1, h'(t))$, mai nullo: le curve cartesiane con $h$ derivabile sono sempre regolari. La retta tangente $\{(t_0 + \lambda,\ h(t_0) + \lambda h'(t_0))\}$ è la solita retta tangente al grafico, di pendenza $h'(t_0)$.

Approssimazione al prim'ordine

Proposizione. Se $f$ è derivabile in $t_0$, $$f(t) = f(t_0) + f'(t_0)\,(t - t_0) + R(t), \qquad \lim_{t \to t_0}\frac{R(t)}{t - t_0} = 0$$

Si ottiene come in una variabile: $\frac{R(t)}{t - t_0} = \frac{f(t) - f(t_0)}{t - t_0} - f'(t_0) \to 0$ per definizione di derivata. In pratica, per $t$ vicino a $t_0$, $$f(t) \approx f(t_0) + f'(t_0)\,(t - t_0)$$ cioè la posizione si stima "proseguendo in linea retta" con la velocità dell'istante $t_0$.

Esempio del prof. $f : [0, 1] \to \mathbb{R}^2$ derivabile con $f(0) = (5, 1)$ e $f'(0) = (-10, 2)$. Stima di $f(0.1)$: $$f(0.1) \approx (5, 1) + (-10, 2)\cdot 0.1 = (5 - 1,\ 1 + 0.2) = (4,\ 1.2)$$ Un caso in cui la derivata va prima ricavata da dati discreti è nell'Esercizio 5 · stimare una posizione con la retta tangente.

Regole di derivazione

Siano $f, g : I \to \mathbb{R}^n$ e $\varphi : I \to \mathbb{R}$ derivabili in $t$, $\alpha \in \mathbb{R}$. Allora:

1. $\frac{d}{dt}(\text{costante}) = 0$;
2. $(\alpha f)' = \alpha f'$;
3. $(\varphi f)' = \varphi' f + \varphi f'$ (prodotto di una funzione reale per una vettoriale);
4. $(f + g)' = f' + g'$;
5. $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$ (prodotto scalare);
6. se $u : J \to I$ è derivabile, $(f \circ u)'(s) = f'(u(s))\,u'(s)$ (regola della catena).

Tutte si dimostrano componente per componente con le Regole di derivazioneDerivate delle funzioni elementari e delle loro inverse (arcsin, arctan, settcosh...) e regole di calcolo: linearità, prodotto (Leibniz), quoziente, funzione composta (regola della catena), funzione inversa, f(x)^g(x).Regole di derivazione → di una variabile. Per esempio la 5: $f \cdot g = \sum_i f_i g_i$, e derivando ogni prodotto $(f_i g_i)' = f_i' g_i + f_i g_i'$, poi sommando si ottiene $f' \cdot g + f \cdot g'$.

Esempio: norma costante ⇒ velocità ortogonale alla posizione

Problema del prof. Sia $r : [a, b] \to \mathbb{R}^3$ di classe $C^1$ con $|r(t)|$ costante. Provare che $r(t)$ e $r'(t)$ sono ortogonali per ogni $t$.

$|r(t)| = c$ per ogni $t$ significa che $r(t) \cdot r(t) = |r(t)|^2 = c^2$ è costante. Si deriva con la regola 5 (con $f = g = r$): $$0 = \frac{d}{dt}\big(r(t)\cdot r(t)\big) = r'(t)\cdot r(t) + r(t)\cdot r'(t) = 2\,r(t)\cdot r'(t)$$ quindi $r(t) \cdot r'(t) = 0$ ∎.

Significato: una curva che sta su una sfera centrata nell'origine (distanza costante dal centro) ha sempre velocità tangente alla sfera, cioè perpendicolare al raggio. Nel piano: nel moto circolare la velocità è perpendicolare al raggio.

Errori comuni

• Chiamare "tangente" un vettore nullo: se $f'(t_0) = 0$ la retta tangente non è definita.
• Dimenticare la derivata interna nella catena: $\frac{d}{dt}(\cos 2t, \sin 2t) = (-2\sin 2t, 2\cos 2t)$, non $(-\sin 2t, \cos 2t)$.
• Confondere velocità vettoriale e scalare: la velocità scalare è $|f'(t)|$, un numero $\ge 0$; servirà per la Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →.