Esercizio 29scambiare l'ordine di integrazione e aree

Testo (Lezione 6, esercizi 1, 2, 4, 10 ed esempio dell'Unità 3; Ripassi 1.23, 1.25, 1.26).

1. Interpretare i seguenti integrali iterati come l'integrale doppio su un dominio. Dopo averli disegnati, invertire l'ordine di integrazione e calcolarli: $\displaystyle\int_0^1\int_{3y}^3 e^{x^2}\,dx\,dy$, $\quad\displaystyle\int_0^3\int_{y^2}^9 y\cos(x^2)\,dx\,dy$.
2. Trovare l'area della regione $D$ racchiusa dalla parabola $y = x^2$ e dalla retta $y = x + 2$.
3. Trovare l'area della regione limitata compresa tra $y = x^2 - 1$ e $x = \frac13y^2 - 1$.
4. Sia $f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ continua. Interpretare la somma dei due integrali iterati come l'integrale doppio di $f$ su una regione $D$ del piano; mostrare che $D$ è semplice rispetto ad $y$ e scrivere la relativa formula di riduzione: (a) $\displaystyle\int_0^1\int_0^{\sqrt x}f(x, y)\,dy\,dx + \int_1^2\int_0^{(x - 2)^2}f(x, y)\,dy\,dx$; $\quad$ (b) $\displaystyle\int_0^1\int_0^{x^2}f(x, y)\,dy\,dx + \int_1^2\int_0^{2 - x}f(x, y)\,dy\,dx$.
5. Considerare la seguente somma di integrali come l'integrale di una funzione su un opportuno dominio e calcolarlo: $$\int_0^{4/5}\int_{1 - \sqrt{1 - x^2}}^{2x}\frac{x\sin y}{y}\,dy\,dx + \int_{4/5}^1\int_{1 - \sqrt{1 - x^2}}^{1 + \sqrt{1 - x^2}}\frac{x\sin y}{y}\,dy\,dx$$

Teoria: Integrali doppi e formule di riduzioneL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione → (paragrafo "Scambiare l'ordine di integrazione").

Il metodo: dagli estremi si legge il dominio (l'integrale esterno dà l'intervallo di una variabile, l'interno dice da quale curva a quale curva va l'altra), lo si disegna, lo si ridescrive a fette nell'altra direzione.

1. Due integrali iterati da invertire

(a) $\int_0^1\int_{3y}^3 e^{x^2}\,dx\,dy$. Dominio: $y \in [0, 1]$ e, per ogni $y$, $x$ dalla retta $x = 3y$ alla retta $x = 3$: è il triangolo di vertici $(0, 0)$, $(3, 0)$, $(3, 1)$. A fette verticali: $x \in [0, 3]$ e $y$ da $0$ fino alla retta $y = \frac x3$. $$\int_0^3\left(\int_0^{x/3}dy\right)e^{x^2}\,dx = \int_0^3\frac x3e^{x^2}\,dx = \frac16\Big[e^{x^2}\Big]_0^3 = \frac{e^9 - 1}{6} \approx 1350.3$$ Nell'ordine dato si sarebbe dovuto integrare $e^{x^2}$ in $x$: impossibile con funzioni elementari.

(b) $\int_0^3\int_{y^2}^9 y\cos(x^2)\,dx\,dy$. Dominio: $y \in [0, 3]$, $x$ dalla parabola $x = y^2$ alla retta $x = 9$: la regione tra il ramo $y = \sqrt x$ e l'asse $x$, per $x \in [0, 9]$. A fette verticali: $0 \le y \le \sqrt x$. $$\int_0^9\cos(x^2)\left(\int_0^{\sqrt x}y\,dy\right)dx = \int_0^9\cos(x^2)\,\frac x2\,dx = \frac14\Big[\sin(x^2)\Big]_0^9 = \frac{\sin 81}{4} \approx -0.157$$

2. Area tra $y = x^2$ e $y = x + 2$

Intersezioni: $x^2 = x + 2 \iff x^2 - x - 2 = 0 \iff x = -1$ o $x = 2$. Tra le due la retta sta sopra (in $x = 0$: $2 > 0$): $$\operatorname{Area} = \int_{-1}^2\big(x + 2 - x^2\big)\,dx = \left[\frac{x^2}2 + 2x - \frac{x^3}3\right]_{-1}^2 = \left(2 + 4 - \frac83\right) - \left(\frac12 - 2 + \frac13\right) = \frac{10}3 + \frac76 = \frac92$$

3. Area tra $y = x^2 - 1$ e $x = \frac13y^2 - 1$

Le curve. La prima è una parabola con asse verticale e vertice $(0, -1)$; la seconda una parabola con asse orizzontale e vertice $(-1, 0)$, che si apre verso destra. Intersezioni (risolvendo il sistema con Python): solo $(-1, 0)$ e $(2, 3)$.

La regione è $\{y \ge x^2 - 1,\ x \ge \frac13y^2 - 1\}$ (dentro entrambe le parabole; il punto $(0, 0)$ ci sta). A fette verticali: $x \in [-1, 2]$; la condizione $x \ge \frac{y^2}3 - 1$ dice $|y| \le \sqrt{3(x + 1)}$, e il ramo inferiore $-\sqrt{3(x + 1)}$ sta sotto la parabola $x^2 - 1$ (in $x = 0$: $-1.73 < -1$). Quindi $y$ va da $x^2 - 1$ a $\sqrt{3(x + 1)}$: $$\operatorname{Area} = \int_{-1}^2\left(\sqrt{3(x + 1)} - x^2 + 1\right)dx = \sqrt3\cdot\frac23\Big[(x + 1)^{3/2}\Big]_{-1}^2 - \left[\frac{x^3}3\right]_{-1}^2 + 3 = \sqrt3\cdot\frac23\cdot 3\sqrt3 - 3 + 3 = 6$$

4. Unioni di domini semplici rispetto a $x$

(a) Il primo integrale è sulla regione sotto $y = \sqrt x$ per $x \in [0, 1]$; il secondo sotto $y = (x - 2)^2$ per $x \in [1, 2]$. Le due curve si incontrano in $(1, 1)$ e l'unione $D$ è la regione sopra l'asse $x$ sotto la "collinetta" formata dai due archi. A fette orizzontali, per $y \in [0, 1]$:

• da sinistra si entra attraversando $y = \sqrt x$, cioè $x = y^2$;
• si esce attraversando $y = (x - 2)^2$ con $x \le 2$, cioè $x = 2 - \sqrt y$.

$D = \{y \in [0, 1],\ y^2 \le x \le 2 - \sqrt y\}$, semplice rispetto a $y$, e $$\int_D f = \int_0^1\int_{y^2}^{2 - \sqrt y}f(x, y)\,dx\,dy$$

(b) Ora i due archi sono $y = x^2$ ($x \in [0, 1]$) e la retta $y = 2 - x$ ($x \in [1, 2]$), che si incontrano in $(1, 1)$. Per $y \in [0, 1]$: si entra da $x = \sqrt y$ e si esce da $x = 2 - y$: $$\int_D f = \int_0^1\int_{\sqrt y}^{2 - y}f(x, y)\,dx\,dy$$

5. La somma di integrali con $\frac{x\sin y}{y}$ (Ripassi 1.23)

Il dominio. Le curve $y = 1 \pm \sqrt{1 - x^2}$ sono le due metà della circonferenza $x^2 + (y - 1)^2 = 1$ (centro $(0, 1)$, raggio $1$), e $y = 2x$ è una retta. Retta e circonferenza si incontrano dove $x^2 + (2x - 1)^2 = 1$, cioè $5x^2 - 4x = 0$: $x = 0$ e $x = \frac45$ (punto $(\frac45, \frac85)$). Il primo integrale copre, per $x \in [0, \frac45]$, la parte di disco sotto la retta; il secondo, per $x \in [\frac45, 1]$, tutto il disco. Insieme: la parte del semidisco destro ($x \ge 0$) che sta sotto la retta $y = 2x$.

A fette orizzontali. Per $y$ fissato, $x$ va dalla retta ($x = \frac y2$) all'arco destro della circonferenza ($x = \sqrt{2y - y^2}$, da $x^2 = 1 - (y - 1)^2 = 2y - y^2$), e questo ha senso finché $\frac y2 \le \sqrt{2y - y^2}$, cioè $\frac{5}{4}y^2 \le 2y$, cioè $y \le \frac85$: $$\int_0^{8/5}\frac{\sin y}{y}\left(\int_{y/2}^{\sqrt{2y - y^2}}x\,dx\right)dy = \int_0^{8/5}\frac{\sin y}{y}\cdot\frac12\left(2y - y^2 - \frac{y^2}4\right)dy = \int_0^{8/5}\sin y\left(1 - \frac58y\right)dy$$ Integrando $y\sin y$ per parti ($\int y\sin y = \sin y - y\cos y$): $$= \Big[-\cos y\Big]_0^{8/5} - \frac58\Big[\sin y - y\cos y\Big]_0^{8/5} = 1 - \cos\tfrac85 - \frac58\sin\tfrac85 + \cos\tfrac85 = 1 - \frac58\sin\frac85 \approx 0.375$$ (i due $\cos\frac85$ si cancellano; valore confermato con Python). L'idea chiave: integrando prima in $x$ esce il fattore $y$ che semplifica il $\frac1y$.

Errori comuni

• Dimenticare un pezzo di bordo quando si ridisegna il dominio: conviene sempre trovare tutti i punti di intersezione.
• Nell'esercizio 3 prendere solo il ramo superiore della parabola orizzontale come bordo, senza controllare dove sta quello inferiore.