Definizione assiomatica e continuità della probabilità

Lezione 2 di probabilità, Unità 2-4. Prerequisiti: Probabilità uniforme su uno spazio finitoSu uno spazio campionario finito Ω con esiti equiprobabili la probabilità uniforme è P(A) = |A|/|Ω| (casi favorevoli su casi possibili); equivalentemente P({ω}) = 1/|Ω| per ogni esito. Gli eventi sono i sottoinsiemi di Ω. Proprietà: P(∅) = 0, P(Ω) = 1, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), P(Aᶜ) = 1 − P(A). Scegliere Ω in modo che gli esiti siano davvero equiprobabili è una scelta di modello, non di matematica (dado con facce ripetute, somma di due dadi, paradosso dei compleanni).Probabilità uniforme su uno spazio finito →, Serie numericheUna serie è la successione delle somme parziali s_n = a_0 + ... + a_n; la sua somma è il limite di s_n (converge, diverge o è irregolare). Proprietà generali e condizione necessaria: se la serie converge, gli addendi tendono a 0.Serie numeriche → (Analisi 1).

Perché serve una definizione generale

La probabilità uniforme non basta per domande come: una moneta truccata dà testa il $30\%$ delle volte, qual è la probabilità di due teste su tre lanci? E lanciando all'infinito, uscirà prima o poi testa? Oppure: in una zona ci sono in media $5$ terremoti all'anno, qual è la probabilità che il prossimo arrivi entro un mese?

L'idea frequentista (lanciare $n$ volte e prendere il limite della frequenza dei successi $\frac{\#\text{successi}}{n}$) ha due problemi: non si sa se il limite esiste, e in principio potrebbe capitare di non vedere mai il $6$. Si preferisce quindi una definizione assiomatica: si dice quali proprietà deve avere una probabilità, e il legame con le frequenze diventa un teorema (la legge dei grandi numeriMarkov: se X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a. Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var[X]/ε², valida per ogni legge (stime grossolane ma universali). Legge debole dei grandi numeri: per X₁, X₂, … i.i.d. con media μ e varianza finita, P(|X̄ₙ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²) → 0. Legge forte: con probabilità 1 la media campionaria X̄ₙ tende a μ; in particolare la frequenza dei successi in prove indipendenti tende alla probabilità p, giustificando l'idea frequentista.Disuguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeri →).

Definizione. Sia $\Omega$ un insieme qualsiasi. Una probabilità su $\Omega$ è una funzione $P : \mathcal{P}(\Omega) \to [0, 1]$, $A \mapsto P(A)$, tale che:

1. $0 \le P(A) \le 1$;
2. $P(\emptyset) = 0$, $P(\Omega) = 1$;
3. ($\sigma$-additività) se $A_1, A_2, \dots$ è una famiglia numerabile di eventi a due a due disgiunti, $$P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \sum_{i=1}^\infty P(A_i) := \lim_{n \to \infty}\big(P(A_1) + \cdots + P(A_n)\big)$$

Osservazione del prof. Qui $P$ è definita su tutti i sottoinsiemi di $\Omega$; nei testi più avanzati la si definisce solo su una famiglia (molto vasta) di sottoinsiemi, gli eventi. Il motivo: non esiste una probabilità definita su tutti i sottoinsiemi di $[0, 1]$ con $P([a, b]) = b - a$; esiste su una famiglia così ampia da contenere tutti gli insiemi che si incontrano in pratica. Lo stesso vale per gli infiniti lanci di una moneta.

Esempio del prof. $P$ su $\mathbb{N}_{\ge 1}$ con $P(\{n\}) = \frac{1}{2^n}$ (i pesi sommano a $1$: serie geometrica $\sum_{n \ge 1}\frac1{2^n} = 1$). Probabilità che il numero scelto sia pari: per la $\sigma$-additività $$P(\{2, 4, 6, \dots\}) = \sum_{k \ge 1}\frac{1}{2^{2k}} = \sum_{k \ge 1}\frac{1}{4^k} = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac13$$

Proprietà

1. Additività finita: se $A_1, \dots, A_n$ sono a due a due disgiunti, $P(A_1 \cup \cdots \cup A_n) = P(A_1) + \cdots + P(A_n)$.
2. Monotonia: se $E \subseteq F$ allora $P(E) \le P(F)$.
3. Differenza: se $E \subseteq F$ allora $P(F \setminus E) = P(F) - P(E)$.
4. Complementare: $P(A^c) = 1 - P(A)$.

La 1 segue dalla $\sigma$-additività con $A_{n+1} = A_{n+2} = \cdots = \emptyset$. La 3: $F = E \cup (F \setminus E)$ con i due pezzi disgiunti, quindi $P(F) = P(E) + P(F \setminus E)$; da qui la 2 (perché $P(F \setminus E) \ge 0$) e la 4 (con $F = \Omega$).

Inclusione-esclusione. (Si scrive anche $AB := A \cap B$, come nel libro di Ross.)

• $P(A_1 \cup A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1A_2)$;
• $P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = \sum_i P(A_i) - \sum_{i<j}P(A_iA_j) + P(A_1A_2A_3)$;
• con quattro eventi: somma dei singoli, meno le coppie, più le terne, meno l'intersezione di tutti e quattro.

Esempi di probabilità

Spazi finiti con pesi. Se $\Omega = \{x_1, \dots, x_m\}$ e $p_1, \dots, p_m \ge 0$ con $p_1 + \cdots + p_m = 1$, si ottiene una probabilità ponendo $P(\{x_i\}) = p_i$ e $P(A) = \sum_{x_k \in A}p_k$. Per una moneta che dà testa al $40\%$: $\Omega = \{T, C\}$, $P(T) = 0.4$, $P(C) = 0.6$.

Spazi numerabili. Un insieme è numerabile se è in biiezione con $\mathbb{N}$ (i suoi elementi si possono elencare in una successione): $\mathbb{Q}$ lo è, $\mathbb{R}$ no. Se $\Omega = \{x_0, x_1, \dots\}$ e $(p_k)$ è una successione di numeri $\ge 0$ con $\sum_k p_k = 1$, $P(A) = \sum_{x_k \in A}p_k$ è una probabilità.

Esempio del prof (il sacchetto con infiniti numeri). Palline numerate $0, 1, 2, \dots$ con $P(\{k\}) = \frac{1}{2^{k+1}}$. Probabilità di un numero pari: $$\sum_{j \ge 0}\frac{1}{2^{2j+1}} = \frac12\sum_{j \ge 0}\frac{1}{4^j} = \frac12\cdot\frac{1}{1 - 1/4} = \frac23$$

La lunghezza su $[0, 1]$. Si pone $P([a, b]) = P(]a, b[) = b - a$ ("scegliere un punto a caso in $[0, 1]$"); si dimostra che si estende a una probabilità su (quasi) tutti i sottoinsiemi di $[0, 1]$. Conseguenze:

• un singolo punto ha probabilità $0$ (è un intervallo di lunghezza $0$);
• un insieme numerabile, come $E = \left\{\frac{1}{n + 1} : n \in \mathbb{N}\right\}$ o $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$, ha probabilità $0$ per la $\sigma$-additività (somma di infiniti zeri). Quindi un evento di probabilità $0$ non è necessariamente impossibile: scegliendo un punto a caso, un razionale "può" uscire, ma con probabilità $0$.

L'area sul quadrato. Su $\Omega = [0, 1]\times[0, 1]$ si pone $P(E) = \operatorname{Area}(E)$ (si calcola con gli integrali doppiL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione →): scegliere un punto a caso nel quadrato.

Infiniti lanci indipendenti di una moneta. Esiste una probabilità $P$ (su una vastissima classe di insiemi di sequenze infinite di $T$ e $C$) tale che i primi $m$ lanci siano uniformi: $P(x_1, \dots, x_m, *, *, \dots) = \frac{1}{2^m}$ per ogni $x_1, \dots, x_m \in \{T, C\}$.

Continuità della probabilità

Proposizione (unioni crescenti). Se $E_1 \subseteq E_2 \subseteq \cdots$, allora $$P\left(\bigcup_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i \to \infty}P(E_i)$$

Dimostrazione. Si scrive l'unione come unione disgiunta di "anelli": $$\bigcup_i E_i = E_1 \cup (E_2 \setminus E_1) \cup (E_3 \setminus E_2) \cup \cdots$$ Per la $\sigma$-additività e la proprietà della differenza, $$P\left(\bigcup_i E_i\right) = P(E_1) + \sum_{n \ge 1}\big(P(E_{n+1}) - P(E_n)\big) = \lim_{n}\Big[P(E_1) + \sum_{k=1}^{n-1}\big(P(E_{k+1}) - P(E_k)\big)\Big] = \lim_n P(E_n)$$ (la somma è telescopica) ∎.

Proposizione (intersezioni decrescenti). Se $E_1 \supseteq E_2 \supseteq \cdots$, allora $$P\left(\bigcap_{i=1}^\infty E_i\right) = \lim_{i \to \infty}P(E_i)$$

Dimostrazione. Passando ai complementari, gli $E_i^c$ sono crescenti, e per le leggi di De Morgan $\left(\bigcap_i E_i\right)^c = \bigcup_i E_i^c$ ("se lo smartphone non è in cucina o in salotto, non è né in cucina né in salotto"). Quindi $P\left(\bigcap E_i\right) = 1 - P\left(\bigcup E_i^c\right) = 1 - \lim P(E_i^c) = \lim P(E_i)$ ∎.

Esempio del prof. Su $[0, 1]$ con la lunghezza, $E_i = \left[\frac14 + \frac1i, \frac34 - \frac1i\right]$ (vuoti per $i < 4$, poi sempre più larghi: crescenti): la loro unione è l'intervallo aperto $E = \left]\frac14, \frac34\right[$, e infatti per $i \ge 4$ si ha $P(E_i) = \frac12 - \frac2i \to \frac12 = P(E)$.

Esempio: uscirà prima o poi testa? Con una moneta equilibrata, sia $E_i$ = "testa nei primi $i$ lanci" (sempre testa): $P(E_i) = \frac{1}{2^i}$, decrescenti. L'evento "esce sempre testa" è $\bigcap_i E_i$, di probabilità $\lim\frac1{2^i} = 0$. Allo stesso modo "esce sempre croce" ha probabilità $0$, quindi prima o poi esce testa con probabilità $1$.

Esempio: prima o poi l'asso di cuori. Estrazioni ripetute con reimmissione da un mazzo di $52$. $E_i$ = "l'asso di cuori esce almeno una volta nelle prime $i$ estrazioni" (crescenti), $P(E_i) = 1 - \left(\frac{51}{52}\right)^i \to 1$. Quindi $P(\text{prima o poi esce}) = 1$.

Esercizi: Esercizio 40 · probabilità su spazi numerabili e continuità.

Errori comuni

• Sommare probabilità di eventi non disgiunti (serve l'inclusione-esclusione).
• Credere che probabilità $0$ significhi "impossibile" (un punto scelto a caso in $[0, 1]$ è razionale con probabilità $0$, ma può esserlo).
• Usare la frequenza su pochi lanci come se fosse la probabilità.