Esercizio 47probabilità condizionata e Bayes dai Ripassi

Testo (Ripassi 2025/26, parte di probabilità).

• 3.4 L'azienda A fornisce il $40\%$ dei computer venduti ed è in ritardo nel $5\%$ dei casi; la B il $30\%$, in ritardo nel $3\%$; la C il restante $30\%$, in ritardo nel $2.5\%$. Un computer arriva in ritardo: probabilità che provenga da A?
• 3.9 La probabilità che domani piova è del $55\%$. La sera prima di un giorno di pioggia Giuseppe ha sempre mal di schiena; il mal di schiena lo affligge nel $70\%$ delle serate. Se stasera ha mal di schiena, qual è la probabilità che domani piova?
• 3.10 Un automobilista è passato con il rosso. Se è sobrio non passa con il rosso; se è alticcio passa con il rosso $1$ volta ogni $25$ semafori; se ha bevuto molto $1$ volta ogni $10$; se è completamente ubriaco passa comunque. Un guidatore è sobrio nel $75\%$ dei casi, alticcio nel $15\%$, ha bevuto molto nel $7\%$, è ubriaco nel $3\%$. Probabilità che il fermato sia completamente ubriaco?
• 3.11 Un ago è perso con uguale probabilità in uno di tre pagliai; se è nel primo lo si ritrova (cercandolo lì) con probabilità $5\%$, nel secondo $10\%$, nel terzo $2\%$. Si è cercato nel primo senza trovarlo: probabilità che sia davvero nel primo? E nel secondo?
• 3.12 I PC affidabili ($80\%$) hanno un guasto entro l'anno nell'$1\%$ dei casi, gli altri nel $10\%$. Con $A$ = "affidabile", $R_1$ = "guasto nel primo anno": calcolare $P(R_1)$ e $P(A \mid R_1)$.
• 3.13 Tre scatole: la 1 con due monete da $50$ centesimi, la 2 con una da $50$ e una da $1$ euro, la 3 con due da $1$ euro. Si sceglie una scatola a caso e se ne estrae una moneta: è da $50$ centesimi. (a) Probabilità che l'altra moneta della scatola sia anch'essa da $50$? (b) Si rimette la moneta e se ne estrae di nuovo una, ancora da $50$: probabilità che si tratti della prima scatola?
• 3.14 Uno strumento riconosce difettoso un componente difettoso nel $95\%$ dei casi, buono un componente buono nel $97\%$. La difettosità del lotto è $5\%$. Probabilità che il componente sia difettoso dato che lo strumento lo rileva difettoso?
• 3.15 I gemelli veri sono dello stesso sesso; gli pseudo-gemelli lo sono con probabilità $\frac12$. Sia $p$ la probabilità di veri gemelli. (a) Probabilità di veri gemelli sapendo che sono dello stesso sesso? (b) Probabilità che due gemelli siano di sesso diverso?
• 3.16 Si colpisce il bersaglio con probabilità $\frac14$ con una carabina buona, $\frac16$ con una meno buona. Un giocatore sceglie a caso tra $6$ carabine, una sola buona. (a) Probabilità di colpire? (b) Ha colpito: probabilità che abbia usato quella buona?
• 3.18 Il cellulare di Giuseppe è noto alla moglie Silvana, al figlio Stefano e alla collega Sandra. Giuseppe sta al telefono più di due minuti con Silvana $1$ volta su $10$, con Stefano $3$ su $10$, con Sandra $7$ su $10$. In media al giorno Stefano chiama $1$ volta, Silvana $9$, Sandra $4$. (a) Probabilità che una telefonata duri più di due minuti? (b) Se dura più di due minuti, probabilità che sia il figlio?
• 3.19 Un'urna ha $3$ bianche, $2$ rosse, $1$ nera. Si estraggono senza reimmissione tre palline e si vince se una è nera. (a) Probabilità di vincere? (b) Probabilità di vincere sapendo che la nera non è uscita nelle prime due? (c) Sapendo di aver vinto, probabilità che la nera non sia uscita nelle prime due?
• 3.20 Una donna ha due figli, almeno uno dei quali è maschio e nato di sabato. Probabilità che anche l'altro sia maschio?
• 3.22 Una macchina inaffidabile produce un pezzo difettoso su $5$, le altre $3$ macchine identiche uno su $100$. Un tecnico sceglie a caso una delle $4$ macchine e osserva un pezzo. (a) Probabilità che sia difettoso? (b) È difettoso: probabilità che venga dalla macchina inaffidabile?

Teoria: Formula della partizione e formula di BayesFormula di inversione: P(F | E) = P(E | F) P(F)/P(E). Formula della partizione (probabilità totale): se F₁, …, Fₙ sono una partizione di Ω con P(Fᵢ) > 0, P(E) = Σ P(E | Fᵢ) P(Fᵢ). Formula di Bayes: P(Fⱼ | E) = P(E | Fⱼ) P(Fⱼ) / Σ P(E | Fᵢ) P(Fᵢ): aggiorna la probabilità delle "cause" Fⱼ dopo aver osservato l'effetto E. Classici: test medici (con malattia rara un positivo è spesso un falso positivo), la carta verde/arancione (1/3, non 1/2), Monty Hall (conviene cambiare: 2/3).Formula della partizione e formula di Bayes →, Probabilità condizionata e formula del prodottoLa probabilità di E condizionata a F (con P(F) > 0) è P(E | F) = P(E ∩ F)/P(F): la probabilità di E "sapendo che F si è realizzato". E ↦ P(E | F) è a sua volta una probabilità; se P è uniforme, P(· | F) è uniforme su F. Ne seguono P(E ∩ F) = P(E | F) P(F) e la formula del prodotto P(A₁⋯Aₙ) = P(A₁) P(A₂ | A₁) P(A₃ | A₁A₂) ⋯ P(Aₙ | A₁⋯Aₙ₋₁), utile per le estrazioni successive.Probabilità condizionata e formula del prodotto →.

Schema per tutti: individuare le "cause" (la partizione) con le loro probabilità a priori, le probabilità dell'effetto osservato per ciascuna causa, poi partizione per $P(\text{effetto})$ e Bayes per $P(\text{causa} \mid \text{effetto})$.

3.4 $P(R) = 0.4\cdot 0.05 + 0.3\cdot 0.03 + 0.3\cdot 0.025 = 0.02 + 0.009 + 0.0075 = 0.0365$; $P(A \mid R) = \frac{0.02}{0.0365} = \frac{40}{73} \approx 0.548$.

3.9 "Pioggia ⇒ mal di schiena la sera prima", cioè $P(S \mid P) = 1$. Con l'inversione: $P(P \mid S) = \frac{1\cdot 0.55}{0.7} = \frac{11}{14} \approx 0.786$.

3.10 Il dato "passa con il rosso" ha probabilità $0$, $\frac1{25}$, $\frac1{10}$, $1$ nelle quattro classi: $$P(\text{ubriaco} \mid \text{rosso}) = \frac{0.03\cdot 1}{0.75\cdot 0 + 0.15\cdot\frac1{25} + 0.07\cdot\frac1{10} + 0.03\cdot 1} = \frac{0.03}{0.006 + 0.007 + 0.03} = \frac{30}{43} \approx 0.70$$ Gli ubriachi sono solo il $3\%$, ma tra chi passa col rosso sono il $70\%$.

3.11 $N$ = "non trovato cercando nel primo": $P(N \mid 1) = 0.95$, $P(N \mid 2) = P(N \mid 3) = 1$ (se non è nel primo, cercandolo lì non lo si trova di sicuro). $$P(1 \mid N) = \frac{\frac13\cdot 0.95}{\frac13(0.95 + 1 + 1)} = \frac{0.95}{2.95} = \frac{19}{59} \approx 0.32, \qquad P(2 \mid N) = \frac{1}{2.95} = \frac{20}{59} \approx 0.34$$ (i dati $10\%$ e $2\%$ sul ritrovamento negli altri pagliai non servono: non si è cercato lì).

3.12 $P(R_1) = 0.8\cdot 0.01 + 0.2\cdot 0.1 = 0.028$; $P(A \mid R_1) = \frac{0.008}{0.028} = \frac27 \approx 0.29$.

3.13 $P(50) = \frac13\cdot 1 + \frac13\cdot\frac12 + \frac13\cdot 0 = \frac12$.

• (a) L'altra moneta è da $50$ solo se la scatola è la 1: $P(1 \mid 50) = \frac{1/3}{1/2} = \frac23$ (come la carta verde/arancione: non $\frac12$!).
• (b) Due estrazioni con reimmissione, entrambe da $50$: $P(50, 50 \mid 1) = 1$, $P(50, 50 \mid 2) = \frac14$, $P(50, 50 \mid 3) = 0$: $$P(1 \mid 50, 50) = \frac{\frac13}{\frac13 + \frac13\cdot\frac14} = \frac{1}{1 + \frac14} = \frac45$$

3.14 $P(D \mid +) = \frac{0.95\cdot 0.05}{0.95\cdot 0.05 + 0.03\cdot 0.95} = \frac{0.0475}{0.076} = \frac58 = 0.625$.

3.15 $P(\text{stesso}) = p\cdot 1 + (1 - p)\cdot\frac12 = \frac{1 + p}{2}$.

• (a) $P(\text{veri} \mid \text{stesso}) = \dfrac{p}{(1 + p)/2} = \dfrac{2p}{1 + p}$.
• (b) $P(\text{diverso}) = 1 - \frac{1 + p}2 = \frac{1 - p}{2}$.

3.16 (a) $P(C) = \frac16\cdot\frac14 + \frac56\cdot\frac16 = \frac1{24} + \frac5{36} = \frac{3 + 10}{72} = \frac{13}{72} \approx 0.18$. (b) $P(\text{buona} \mid C) = \frac{1/24}{13/72} = \frac3{13}$.

3.18 Le probabilità di chi chiama sono proporzionali al numero medio di chiamate: Silvana $\frac9{14}$, Stefano $\frac1{14}$, Sandra $\frac4{14}$.

• (a) $P(L) = \frac{9\cdot 0.1 + 1\cdot 0.3 + 4\cdot 0.7}{14} = \frac{4}{14} = \frac27$.
• (b) $P(\text{Stefano} \mid L) = \frac{0.3/14}{4/14} = \frac{3}{40}$.

3.19 Per simmetria la nera è in ciascuna delle $6$ posizioni dell'ordine di estrazione con probabilità $\frac16$.

• (a) Vince se la nera è tra le prime tre: $\frac36 = \frac12$.
• (b) Sapendo che non è nelle prime due, la terza estrazione avviene tra $4$ palline di cui una nera: $\frac14$.
• (c) $P(\text{non nelle prime due} \mid \text{vinto}) = \frac{P(\text{nera terza})}{P(\text{vinto})} = \frac{1/6}{1/2} = \frac13$.

3.20 Ogni figlio ha $14$ "tipi" equiprobabili (sesso × giorno), le coppie ordinate sono $196$. "Almeno un maschio nato di sabato": complementare "nessuno dei due è maschio-sabato", $13^2 = 169$ coppie; quindi $196 - 169 = 27$ coppie. Tra queste, quelle con due maschi: coppie di maschi ($7^2 = 49$) meno quelle senza maschio-sabato ($6^2 = 36$): $13$. $$P = \frac{13}{27} \approx 0.48$$ (Senza l'informazione sul sabato, "almeno un maschio", la risposta sarebbe $\frac13$; più l'informazione individua uno dei figli, più la risposta si avvicina a $\frac12$.)

3.22 $P(D) = \frac14\cdot\frac15 + \frac34\cdot\frac1{100} = 0.05 + 0.0075 = 0.0575$; $P(\text{inaffidabile} \mid D) = \frac{0.05}{0.0575} = \frac{20}{23} \approx 0.87$.

Errori comuni

• In 3.11, usare le probabilità di ritrovamento degli altri pagliai: conta solo cosa significa "non trovato nel primo" per ogni posizione dell'ago.
• In 3.13(a) e 3.20, rispondere $\frac12$ per "simmetria": l'informazione osservata favorisce alcune configurazioni.