Lezione 15La variabile di Poisson

Modulo: Probabilità, Lezione 5 ("La variabile di Poisson"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - La variabile di Poisson: il tram di Padova come limite di binomiali; definizione; le telefonate al centralino; densità e distribuzione di $\operatorname{Po}(10)$.
2. Unità 2 - Approssimazione della binomiale con la Poisson: il teorema limite e le regole pratiche ($n \ge 20$, $p \le 0.05$, $p \le \frac{10}n$); confronti grafici; usi tipici; lotterie e lenti a contatto.
3. Unità 3 - Somme di Poisson indipendenti e processo di Poisson: terremoti in California e Grecia; somma di Poisson indipendenti; definizione di processo di Poisson; ufficio postale, centralino, terremoti in Giappone.

Teoria

• Variabile di Poisson e approssimazione della binomialeX ~ Po(λ), λ > 0, assume i valori 0, 1, 2, … con P(X = k) = e^{−λ} λᵏ/k!; λ è il numero medio di eventi. Nasce come limite della binomiale: se Xₙ ~ B(n, λ/n) allora P(Xₙ = k) → e^{−λ}λᵏ/k!. In pratica B(n,p) ≈ Po(np) se n è grande e p piccolo (regole del corso: n ≥ 20, p ≤ 0.05, p ≤ 10/n). Modella conteggi di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio: telefonate, arrivi, terremoti, difetti, vincite.Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale →
• Somma di Poisson indipendenti e processo di PoissonSe X ~ Po(λ) e Y ~ Po(μ) sono indipendenti, X + Y ~ Po(λ + μ). Un processo di Poisson di intensità λ (eventi per unità di tempo) è una famiglia {Xₜ} in cui Xₜ ~ Po(λt) conta gli eventi in [0, t], gli incrementi X_{t+τ} − Xₜ ~ Po(λτ) dipendono solo dalla lunghezza τ dell'intervallo, e incrementi su intervalli disgiunti sono indipendenti. Quindi il numero di eventi in un intervallo non dipende da quanti ne sono avvenuti prima; la probabilità di nessun evento in un tempo τ è e^{−λτ}.Somma di Poisson indipendenti e processo di Poisson →

Esercizi

• Esercizio 50 · approssimazione di Poisson dagli appelli e dai Ripassi — compitino 2015, Ripassi 3.24-3.26, 3.28, 3.29, 3.36