Esercizio 60coppie di variabili indipendenti e incontri casuali

Testo (dagli appelli).

1. (Appello 4, 2015/16.) Due persone decidono di incontrarsi nella foresta tra mezzogiorno e le $2$ del pomeriggio; arrivano indipendentemente in tempi $X$ e $Y$ uniformi su $[0, 2]$ (ore). (a) Determinare la legge congiunta di $(X, Y)$, precisando dove è nulla. (b) Le due persone si aspettano al massimo $20$ minuti: disegnare la regione dei tempi in cui si incontrano e calcolare la probabilità che si incontrino.
2. (Appello 3, 12 luglio 2017.) Il tempo in minuti impiegato da Carlo per raggiungere la stazione è uniforme su $[5, 15]$, quello di Alberto uniforme su $[10, 25]$, indipendenti. Probabilità che Alberto arrivi prima di Carlo.
3. (Appello 4, 2017/18.) $X$ uniforme su $[0, 4]$ e $Y$ esponenziale di parametro $3$, indipendenti. (a) Densità congiunta; (b) $P(X \le 0, Y \ge 1)$; (c) $P(Y \ge X + 1)$.
4. (Appello 3, 2014/15.) In un vecchio libro la densità di $X$ è rovinata: non si capisce se è $f_X(x) = C(x - 3)$ su $[0, 4]$ oppure su $[0, 3]$ (e $0$ altrove), per una costante $C$. Determinare la densità corretta e $C$. Se $Y$ è uniforme su $[2, 4]$ e indipendente da $X$, calcolare $P(X < Y)$.

Teoria: Variabili aleatorie congiunte continue(X, Y) è congiunta continua se esiste f_{X,Y} ≥ 0 con P((X,Y) ∈ A) = ∫∫A f{X,Y} dx dy e integrale totale 1 (le probabilità si calcolano con gli integrali doppi). Uniforme su C: densità 1/Area(C) su C. Marginali: fₓ(x) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dy, f_Y(y) = ∫ f_{X,Y}(x,y) dx, nulle fuori dalle proiezioni del sostegno. E[g(X,Y)] = ∫∫ g f_{X,Y}. X, Y indipendenti ⇔ f_{X,Y}(x,y) = fₓ(x) f_Y(y); allora il sostegno è un rettangolo (prodotto cartesiano): un sostegno triangolare o circolare esclude l'indipendenza. Covarianza nulla non implica indipendenza (uniforme sul disco).Variabili aleatorie congiunte continue →, Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenzialeX è continua se esiste una densità fₓ ≥ 0 con P(X ∈ (a,b)) = ∫ₐᵇ fₓ e ∫R fₓ = 1; allora P(X = x) = 0 per ogni x, Fₓ(x) = ∫{−∞}^x fₓ, e se Fₓ è continua e C¹ a tratti X è continua con fₓ = Fₓ'. Uniforme U(a,b): densità 1/(b−a) su (a,b), P(X ∈ [c,d]) = (d−c)/(b−a). Esponenziale Exp(λ): tempo d'attesa del primo evento in un processo di Poisson, P(T > t) = e^{−λt}, densità λe^{−λt} per t > 0; è senza memoria: P(T > t + s | T > s) = P(T > t). Per Y = g(X) con g monotona si passa dalla funzione di distribuzione.Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale →.

L'idea comune: per variabili indipendenti la densità congiunta è il prodotto delle densità, $f_{X,Y}(x, y) = f_X(x)f_Y(y)$; ogni probabilità che coinvolge entrambe è un integrale doppio (spesso, con le uniformi, un rapporto di aree).

1. L'incontro nella foresta

(a) $f_{X,Y}(x, y) = \frac12\cdot\frac12 = \frac14$ per $(x, y) \in [0, 2]^2$, $0$ fuori dal quadrato: $(X, Y)$ è uniforme sul quadrato di lato $2$.

(b) $20$ minuti $= \frac13$ di ora. Si incontrano se e solo se $|X - Y| \le \frac13$: la striscia tra le rette $y = x - \frac13$ e $y = x + \frac13$, dentro il quadrato. Il complementare è formato da due triangoli rettangoli isosceli (agli angoli $(2, 0)$ e $(0, 2)$) di cateto $2 - \frac13 = \frac53$, area totale $2\cdot\frac12\left(\frac53\right)^2 = \frac{25}{9}$. Con la densità uniforme: $$P\left(|X - Y| \le \tfrac13\right) = 1 - \frac{25/9}{4} = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36} \approx 0.31$$

2. Carlo e Alberto

$C \sim U(5, 15)$, $A \sim U(10, 25)$ indipendenti: $(C, A)$ è uniforme sul rettangolo $[5, 15]\times[10, 25]$, di area $10\cdot 15 = 150$. "Alberto prima di Carlo" è $A < C$: possibile solo per $A \in [10, 15]$, con $C \in\, ]A, 15]$. Area della regione: $$\int_{10}^{15}(15 - a)\,da = \frac{5^2}{2} = 12.5$$ $$P(A < C) = \frac{12.5}{150} = \frac1{12}$$

3. Un'uniforme e un'esponenziale

(a) $f_{X,Y}(x, y) = \frac14\cdot 3e^{-3y} = \frac34e^{-3y}$ per $0 \le x \le 4$ e $y > 0$, $0$ altrimenti.

(b) $X \le 0$ ha probabilità $0$ ($X$ è continua e non scende sotto $0$): $P(X \le 0, Y \ge 1) = 0$.

(c) $$P(Y \ge X + 1) = \int_0^4\frac14\left(\int_{x+1}^{+\infty}3e^{-3y}\,dy\right)dx = \int_0^4\frac14e^{-3(x+1)}\,dx = \frac{e^{-3}}{4}\cdot\frac{1 - e^{-12}}{3} = \frac{e^{-3}(1 - e^{-12})}{12} \approx 0.0041$$

4. La densità rovinata

Quale delle due. Una densità deve essere $\ge 0$. Su $[0, 4]$ la funzione $x - 3$ cambia segno (negativa su $[0, 3[$, positiva su $]3, 4]$): nessuna costante $C$ rende $C(x - 3) \ge 0$ su tutto l'intervallo. Su $[0, 3]$ invece $x - 3 \le 0$, e basta $C < 0$. La densità corretta è quella su $[0, 3]$, con $$\int_0^3 C(x - 3)\,dx = C\left(\frac92 - 9\right) = -\frac{9C}{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad C = -\frac29, \qquad f_X(x) = \frac29(3 - x) \ \text{su } [0, 3]$$

$P(X < Y)$ con $Y \sim U(2, 4)$ indipendente: $f_{X,Y} = \frac29(3 - x)\cdot\frac12$ su $[0, 3]\times[2, 4]$. Conviene il complementare $\{X \ge Y\}$, possibile solo con $2 \le Y \le X \le 3$: $$P(X \ge Y) = \int_2^3\frac29(3 - x)\cdot\frac12\left(\int_2^x dy\right)dx = \frac19\int_2^3(3 - x)(x - 2)\,dx = \frac19\cdot\frac16 = \frac1{54}$$ (con $u = x - 2$: $\int_0^1(1 - u)u\,du = \frac16$). Quindi $$P(X < Y) = 1 - \frac1{54} = \frac{53}{54}$$

Errori comuni

• Nell'incontro, dimenticare che il ritardo può essere di entrambi ($|X - Y|$, non $X - Y$).
• Accettare una "densità" con valori negativi (punto 4).
• Integrare su tutto il rettangolo invece che sulla regione richiesta.