Lezione 03 — Calcolo differenziale in più variabili

Modulo: Analisi, Lezione 3 ("Calcolo differenziale"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Derivate direzionali e parziali: la passeggiata in montagna; definizione e calcolo con $g(t) = f(p + tu)$; $|(x, y)|$ non ha derivate direzionali nell'origine; $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ ha tutte le derivate direzionali ma non è continua; derivate parziali e lo "stratagemma"; proprietà.
2. Unità 2 - Il gradiente: definizione, $\nabla|x| = \frac{x}{|x|}$, gradiente delle funzioni radiali; funzioni $C^1$; formula del gradiente; direzioni di massima e minima crescita; la montagna $1000\,e^{-(x^2+5y^2)}$.
3. Unità 3 - Spazio tangente e differenziabilità: spazio (piano) tangente; differenziabilità e linearizzazione; $C^1 \Rightarrow$ differenziabile $\Rightarrow$ continua e formula del gradiente; esempi ($\frac{\sin^2(xy)}{x^2+y^2}$, $\frac{x^2y}{x^2+y^2}$); stime con il differenziale (gas perfetto, lattine).
4. Unità 4 - La regola della catena: teorema; ricavare il gradiente da identità lungo curve; il gradiente è ortogonale alle curve di livello.
5. Unità 5 - Derivate seconde: derivate seconde, matrice hessiana, teorema di Schwarz.

Teoria

• Derivate direzionali e parzialiLa derivata direzionale di f in p lungo u è D_u f(p) = lim_{t→0} (f(p + tu) − f(p))/t, cioè la derivata in t = 0 di g(t) = f(p + tu): quanto sale f partendo da p lungo u. Le derivate parziali sono le direzionali lungo gli assi, ∂f/∂xᵢ = D_{eᵢ}f, e si calcolano derivando rispetto a xᵢ con le altre variabili ferme. Avere tutte le derivate direzionali NON implica la continuità (x²y/(x⁴ + y²)). Valgono linearità, regola del prodotto e della catena con φ di una variabile.Derivate direzionali e parziali →
• Gradiente e direzione di massima crescitaIl gradiente è il vettore delle derivate parziali ∇f(p) = (∂₁f(p), …, ∂ₙf(p)). Se f è C¹ (derivate parziali continue) vale la formula del gradiente D_u f(p) = ∇f(p)·u: tutte le derivate direzionali si ottengono dalle parziali e u ↦ D_u f(p) è lineare. Tra i versori, la crescita è massima lungo ∇f/|∇f| (pendenza |∇f|), minima lungo −∇f/|∇f| (pendenza −|∇f|), nulla lungo le direzioni ortogonali al gradiente. Utili: ∇|x| = x/|x|, ∇φ(|x|) = φ'(|x|) x/|x|.Gradiente e direzione di massima crescita →
• Differenziabilità, piano tangente e linearizzazionef è differenziabile in p se f(x) = f(p) + ∇f(p)·(x − p) + R(x) con R(x)/|x − p| → 0: vicino a p il grafico è quasi il suo spazio tangente z = f(p) + ∇f(p)·(x − p) (per n = 2 il piano tangente). La funzione affine L(x) = f(p) + ∇f(p)·(x − p) è la linearizzazione e serve per le stime (Δf ≈ ∇f·Δx). C¹ ⇒ differenziabile ⇒ continua e D_u f(p) = ∇f(p)·u per ogni u. Per verificare la differenziabilità in un punto: derivate parziali con la definizione, poi limite di [f(p+h) − f(p) − ∇f(p)·h]/|h|.Differenziabilità, piano tangente e linearizzazione →
• Regola della catena in più variabiliSe x(t) è una curva derivabile e f è differenziabile in x(t₀), allora (f∘x)'(t₀) = ∇f(x(t₀))·x'(t₀) = Σ ∂ᵢf(x(t₀)) xᵢ'(t₀): la variazione di f lungo il moto è il gradiente per la velocità. Serve per derivare composte come f(2t, t²), per ricavare il gradiente da informazioni lungo curve, per le derivate di f(g(s,t)) e per provare che il gradiente è ortogonale alle curve di livello.Regola della catena in più variabili →
• Derivate seconde e matrice hessianaLe derivate seconde ∂²f/∂xᵢ∂xⱼ = ∂ᵢ(∂ⱼf) si ottengono derivando una derivata parziale. La matrice hessiana Hess f(p) raccoglie le n² derivate seconde (riga i, colonna j: ∂ᵢ∂ⱼf). Teorema di Schwarz: se f è C² (derivate seconde continue) le derivate miste coincidono, ∂ᵢ∂ⱼf = ∂ⱼ∂ᵢf, quindi l'hessiana è simmetrica. Servirà per classificare i punti critici.Derivate seconde e matrice hessiana →

Esercizi

• Esercizio 15 · derivate parziali da derivate direzionali note — Ripassi 1.5 e 1.10
• Esercizio 16 · gradiente, direzioni di massima pendenza e il lago — esercizio 6 della lezione, appelli del 12/7/2017, 5/9/2017 e 9/7/2019
• Esercizio 17 · continuità, derivate direzionali e differenziabilità nell'origine — esempio dell'Unità 3, esercizio 1 (Ripassi 1.8), appello 2 del 2014/15
• Esercizio 18 · altri casi di differenziabilità nell'origine — esercizi 2, 3, 5, Ripassi 1.7 e 1.9, facsimile del I appello 2015/16
• Esercizio 19 · piani tangenti e stime con il differenziale — esercizio 4 e Ripassi 1.6
• Esercizio 20 · regola della catena e gradiente da informazioni lungo curve — esercizi 7 e 8, Ripassi 1.11