Esercizio 49binomiali, geometriche e assenza di memoria

Testo.

1. (Ripassi 3.27.) (a) Un dado equilibrato viene lanciato $3$ volte. Qual è la probabilità che il $6$ sia uscito esattamente $2$ volte? (b) Qual è la probabilità che in $n$ lanci il $6$ sia uscito esattamente $2$ volte?
2. (Ripassi 3.31.) Per un posto di lavoro si presentano $10$ candidati. Ognuno dei tre membri di un comitato stila, indipendentemente, una classifica da $1$ a $10$. Un candidato viene assunto se è classificato primo da almeno due membri. Trovare la probabilità che una specifica candidata venga assunta, supponendo che i membri stilino le classifiche in modo completamente casuale.
3. (Ripassi 3.30.) Una scatola contiene $100$ calcolatrici, delle quali $3$ difettose. Ne vengono selezionate $5$ a caso: probabilità che (a) quattro siano funzionanti e una sola difettosa; (b) al più due siano difettose; (c) tutte e $5$ siano funzionanti.
4. (Ripassi 3.23.) Tre macchinari producono occhiali: il primo un paio difettoso ogni $100$, il secondo ogni $200$, il terzo ogni $300$. Le scatole contengono $100$ paia prodotte da una sola macchina; una scatola viene dal primo con probabilità $\frac12$, dal secondo e dal terzo con probabilità $\frac14$ ciascuno. Un ottico riceve una scatola. (a) Probabilità che trovi almeno un paio difettoso? (b) Se trova esattamente due paia difettose, probabilità che la scatola venga dal primo macchinario?
5. (Appelli.) (a) Un cromosoma muta in media in un caso su $10\,000$; in una popolazione di $20\,000$ persone, scrivere con una binomiale la probabilità che sia mutato su al massimo due persone (II compitino 2015). (b) Il partito VivaVenezia ha avuto il $18\%$ dei voti; in un exit poll su $1000$ elettori che votano indipendentemente, sia $X$ il numero di quelli che hanno votato VivaVenezia: precisarne la natura (appello 4, 2014/15).

Teoria: Variabili binomiale e geometricaIn n prove di Bernoulli indipendenti con successo di probabilità p, il numero di successi X ~ B(n,p) ha P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0,…,n; equivalentemente X è somma di n Bernoulli Be(p) indipendenti. Senza indipendenza (estrazioni senza reimmissione) la somma non è binomiale (legge ipergeometrica). Il numero di prove fino al primo successo X ~ Ge(p) ha P(X = k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, k ≥ 1, e P(X > k) = (1−p)ᵏ; è senza memoria: P(X > k+m | X > k) = P(X > m) (i numeri ritardatari del lotto non sono "più probabili").Variabili binomiale e geometrica →.

1. Due $6$ in $n$ lanci

Il numero di $6$ in $n$ lanci indipendenti è $X \sim B\left(n, \frac16\right)$.

(a) $n = 3$: $P(X = 2) = \binom32\left(\frac16\right)^2\frac56 = \frac{15}{216} = \frac5{72} \approx 0.069$.

(b) In generale ($n \ge 2$): $$P(X = 2) = \binom n2\frac{1}{36}\left(\frac56\right)^{n-2} = \frac{n(n-1)}{72}\left(\frac56\right)^{n-2}$$ È massima per $n = 11$ o $12$ (dove vale circa $0.296$): con troppo pochi lanci due $6$ sono rari, con troppi è probabile averne di più.

2. La candidata e i tre esaminatori

Ogni esaminatore, ordinando a caso i $10$ candidati, mette la candidata al primo posto con probabilità $\frac1{10}$; i tre lo fanno indipendentemente. Il numero $X$ di esaminatori che la mettono prima è quindi $X \sim B\left(3, \frac1{10}\right)$: $$P(X \ge 2) = \binom32\left(\frac1{10}\right)^2\frac9{10} + \left(\frac1{10}\right)^3 = 0.027 + 0.001 = 0.028$$

3. Le calcolatrici difettose (ipergeometrica)

Si scelgono $5$ calcolatrici senza reimmissione: non è una binomiale, ma un conteggio con i sottoinsiemi. $\Omega$ = sottoinsiemi di $5$ su $100$, $\binom{100}5$ equiprobabili.

(a) $1$ difettosa tra $3$ e $4$ buone tra $97$: $\dfrac{\binom31\binom{97}4}{\binom{100}5} \approx 0.138$.

(b) Al più due difettose = non tutte e tre le difettose nel campione: $1 - \dfrac{\binom33\binom{97}2}{\binom{100}5} \approx 1 - 0.00006 = 0.99994$.

(c) Tutte buone: $\dfrac{\binom{97}5}{\binom{100}5} \approx 0.856$.

Confronto con la binomiale (come se si estraesse con reimmissione, $p = 0.03$): per (c) si avrebbe $0.97^5 \approx 0.859$, molto vicino. Con $100$ oggetti e solo $5$ estrazioni togliere una calcolatrice cambia pochissimo le proporzioni.

4. Le scatole di occhiali

Data la macchina $i$, il numero di paia difettose in una scatola è $X \mid i \sim B(100, p_i)$, con $p_1 = \frac1{100}$, $p_2 = \frac1{200}$, $p_3 = \frac1{300}$ (le paia sono difettose indipendentemente).

(a) $P(X \ge 1 \mid i) = 1 - (1 - p_i)^{100}$, e per la partizione $$P(X \ge 1) = 1 - \left[\tfrac12(0.99)^{100} + \tfrac14\left(\tfrac{199}{200}\right)^{100} + \tfrac14\left(\tfrac{299}{300}\right)^{100}\right] \approx 1 - [0.183 + 0.152 + 0.179] \approx 0.487$$

(b) Bayes con $b_i = P(X = 2 \mid i) = \binom{100}2p_i^2(1 - p_i)^{98}$: $$P(1 \mid X = 2) = \frac{\frac12b_1}{\frac12b_1 + \frac14b_2 + \frac14b_3} \approx 0.76$$ (con $b_1 \approx 0.185$, $b_2 \approx 0.076$, $b_3 \approx 0.039$; valori calcolati con Python). Due difetti sono "tanti" per le macchine migliori: la scatola viene probabilmente dalla prima.

5. Dagli appelli

(a) Ogni persona ha il cromosoma mutato con probabilità $p = \frac{1}{10\,000}$, indipendentemente dalle altre: il numero di persone con la mutazione è $X \sim B(20\,000, 10^{-4})$ e $$P(X \le 2) = (1 - 10^{-4})^{20\,000} + 20\,000\cdot 10^{-4}(1 - 10^{-4})^{19\,999} + \binom{20\,000}{2}10^{-8}(1 - 10^{-4})^{19\,998}$$ (Il testo chiede la formula senza semplificare; l'approssimazione con la Poisson è nella lezione successivaX ~ Po(λ), λ > 0, assume i valori 0, 1, 2, … con P(X = k) = e^{−λ} λᵏ/k!; λ è il numero medio di eventi. Nasce come limite della binomiale: se Xₙ ~ B(n, λ/n) allora P(Xₙ = k) → e^{−λ}λᵏ/k!. In pratica B(n,p) ≈ Po(np) se n è grande e p piccolo (regole del corso: n ≥ 20, p ≤ 0.05, p ≤ 10/n). Modella conteggi di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio: telefonate, arrivi, terremoti, difetti, vincite.Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale →.)

(b) Ogni elettore intervistato è un esperimento di Bernoulli (successo = "ha votato VivaVenezia", probabilità $0.18$), e i $1000$ esperimenti sono indipendenti: $X \sim B(1000, 0.18)$.

Errori comuni

• Usare la binomiale per le calcolatrici (estrazione senza reimmissione): la legge giusta è ipergeometrica, anche se qui i numeri sono vicini.
• Nel punto 4, applicare una sola binomiale con un $p$ "medio": prima si condiziona alla macchina, poi si usa la partizione.