Lezione 02 — Funzioni di più variabili e limiti

Modulo: Analisi, Lezione 2 ("Funzioni di più variabili"). Slide per prendere appunti 2026/27 e slide commentate dell'a.a. 2025/26 (5 ottobre 2025). Esercizi del venerdì: settimana 2 del 2025/26.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Introduzione alle funzioni di più variabili: dominio e grafico; funzioni radiali (paraboloide, cono); metodo delle sezioni (paraboloide iperbolico); insiemi di livello; grafici e curve di livello con Mathematica.
2. Unità 2 - Limiti di funzioni di più variabili: la motivazione del microcanale a T; punti di accumulazione e isolati; limite finito e infinito ($\frac{1}{x^2+y^2} \to +\infty$ con la definizione); permanenza del segno, algebra dei limiti, carabinieri; continuità, continuità delle proiezioni e delle funzioni composte; la "fabbrica" di aperti e chiusi; metodi asintotici.
3. Unità 3 - Limiti su restrizioni e non esistenza del limite: limite sulle restrizioni; rette e semirette in polari; $\frac{xy}{x^2+y^2}$, $\frac{x^2y}{x^4+y^2}$ e la funzione che vale $1$ tra due parabole.
4. Unità 4 - Provare l'esistenza del limite: incollamento; stime uniformi e $|xy| \le \frac12(x^2+y^2)$; il metodo delle coordinate polari e perché serve l'uniformità in $t$.

Teoria

• Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livelloUna funzione di più variabili è f : D ⊆ Rⁿ → R. Il grafico è {(x, f(x))} ⊂ Rⁿ⁺¹ (per n = 2 una superficie). Per visualizzarla: metodo delle sezioni (si fissa una variabile e si disegna la funzione dell'altra) e insiemi di livello Z_c = {f = c} (le curve di livello delle carte topografiche). Le funzioni radiali f(x) = h(|x|) dipendono solo dalla distanza dall'origine: hanno grafico di rotazione e livelli che sono cerchi.Funzioni di più variabili - dominio, grafico e insiemi di livello →
• Limiti e continuità in più variabiliIl limite di f : D ⊆ Rⁿ → R in un punto di accumulazione p si definisce come in una variabile, con la norma: ∀ε ∃δ, 0 < |x − p| ≤ δ, x ∈ D ⇒ |f(x) − ℓ| ≤ ε. Valgono permanenza del segno, algebra dei limiti e carabinieri. f è continua in p se il limite è f(p): polinomi e composizioni di funzioni continue lo sono. Con f continua, {f < c} è aperto e {f ≤ c} è chiuso. Gli sviluppi asintotici di una variabile si usano se l'argomento tende a 0 (es. sin(x³y) ~ x³y).Limiti e continuità in più variabili →
• Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polariPer dimostrare che un limite NON esiste: si trovano due restrizioni (rette y = mx, parabole y = kx², …) con limiti diversi. Per dimostrare che ESISTE: stima uniforme |f(x) − ℓ| ≤ h(x) con h → 0 (utile |xy| ≤ (x² + y²)/2), oppure coordinate polari con una stima |f(p + ρ(cos t, sin t)) − ℓ| ≤ h(ρ) indipendente da t, oppure incollamento di limiti uguali su pezzi che ricoprono il dominio. Il limite uguale su tutte le rette NON basta.Calcolo dei limiti in due variabili - restrizioni, stime e coordinate polari →

Esercizi

• Esercizio 12 · limiti con stime uniformi e coordinate polari — venerdì, settimana 2 (esercizi 1-5)
• Esercizio 13 · asintotici, stime e restrizioni su parabole — esercizi 1-4 della lezione (Ripassi 1.3 e 1.4)
• Esercizio 14 · un limite infinito e i cerchi di Apollonio — esercizi 5 e 6