Valore atteso e varianza di variabili continue

Lezione 7 di probabilità, Unità 3. Prerequisiti: Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenzialeX è continua se esiste una densità fₓ ≥ 0 con P(X ∈ (a,b)) = ∫ₐᵇ fₓ e ∫R fₓ = 1; allora P(X = x) = 0 per ogni x, Fₓ(x) = ∫{−∞}^x fₓ, e se Fₓ è continua e C¹ a tratti X è continua con fₓ = Fₓ'. Uniforme U(a,b): densità 1/(b−a) su (a,b), P(X ∈ [c,d]) = (d−c)/(b−a). Esponenziale Exp(λ): tempo d'attesa del primo evento in un processo di Poisson, P(T > t) = e^{−λt}, densità λe^{−λt} per t > 0; è senza memoria: P(T > t + s | T > s) = P(T > t). Per Y = g(X) con g monotona si passa dalla funzione di distribuzione.Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale →, Valore atteso di variabili discreteIl valore atteso di una v.a. discreta è la media dei valori pesata con le probabilità, E[X] = Σ xₖ P(X = xₖ) (se la serie converge assolutamente): il "baricentro" della distribuzione. Valori notevoli: Be(p) → p, B(n,p) → np, Po(λ) → λ, Ge(p) → 1/p. Per le composte E[g(X)] = Σ g(x) pₓ(x), senza cercare la legge di g(X); linearità E[aX + b] = aE[X] + b e E[X₁ + ⋯ + Xₘ] = Σ E[Xᵢ] sempre (anche senza indipendenza: i cappelli); E[XY] = E[X]E[Y] se X, Y sono indipendenti.Valore atteso di variabili discrete →, Varianza e covarianza di variabili discreteVar[X] = E[(X − μ)²] = E[X²] − μ² misura la dispersione attorno alla media μ = E[X]; σ = √Var è la deviazione standard. Var[aX + b] = a² Var[X]; la normalizzata (X − μ)/σ ha media 0 e varianza 1. Varianze notevoli: Be(p) → p(1−p), B(n,p) → np(1−p), Po(λ) → λ, Ge(p) → (1−p)/p². Cov[X,Y] = E[XY] − E[X]E[Y]; variabili indipendenti hanno covarianza nulla, ma non vale il viceversa (X uniforme su {−1,0,1} e X²). Var[X + Y] = Var X + Var Y + 2 Cov[X,Y]: per indipendenti le varianze si sommano.Varianza e covarianza di variabili discrete →.

Valore atteso

Per una sbarra $[a, b]$ con densità di massa $\mu(x)$ e massa totale $\int_a^b\mu = 1$, il baricentro è $\bar x = \int_a^b x\,\mu(x)\,dx$: la somma dei punti pesata con le masse diventa un integrale.

Definizione. Se $X$ è continua con densità $f_X$ e $|x|f_X(x)$ è integrabile in senso generalizzato, il valore atteso di $X$ è $$E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty}x\,f_X(x)\,dx$$

Uniforme. Se $X \sim U(a, b)$: $E[X] = \int_a^b\frac{x}{b - a}\,dx = \frac{b^2 - a^2}{2(b - a)} = \frac{a + b}{2}$, il punto medio (come ci si aspetta per simmetria).

Esponenziale. Se $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, per parti: $$E[X] = \int_0^{+\infty}x\,\lambda e^{-\lambda x}\,dx = \Big[-x\,e^{-\lambda x}\Big]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty}e^{-\lambda x}\,dx = 0 + \frac1\lambda$$ (il termine di bordo è nullo perché $x\,e^{-\lambda x} \to 0$ all'infinito). Se arrivano in media $\lambda$ clienti al minuto, il primo arriva in media dopo $\frac1\lambda$ minuti.

Media e mediana. La mediana è il valore $m$ con $P(X \le m) = \frac12$. Per $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$: $1 - e^{-\lambda m} = \frac12$ dà $m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.69}{\lambda}$, minore della media. Infatti $P\left(X \le \frac1\lambda\right) = 1 - e^{-1} \approx 0.63 > \frac12$: la coda lunga a destra (attese rare ma lunghissime) sposta la media verso l'alto.

Proprietà e funzioni di $X$

Proprietà (come per le discrete). Se $X$, $Y$ hanno valore atteso finito:

1. monotonia: se $X \le Y$ allora $E[X] \le E[Y]$;
2. $E[aX + b] = aE[X] + b$;
3. linearità: $E[aX + bY] = aE[X] + bE[Y]$ (anche se una è discreta e l'altra continua).

Proposizione. Se $X$ è continua con densità $f_X$ e $|g(x)|f_X(x)$ è integrabile in senso generalizzato, allora $$E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty}g(x)\,f_X(x)\,dx$$ In particolare $E[X^2] = \int x^2f_X(x)\,dx$.

Esempio del prof (la potenza dissipata). La corrente in una resistenza è $I \sim U(0, 2)$ ampère, la potenza (con resistenza unitaria) è $X = I^2$. Non serve trovare la legge di $X$: $$E[X] = E[I^2] = \int_0^2 i^2\cdot\frac12\,di = \frac12\cdot\frac83 = \frac43$$ mentre $(E[I])^2 = 1$: di nuovo $E[g(X)] \ne g(E[X])$.

Esempio del prof (il TIR). La distanza percorsa da un TIR, in centinaia di miglia, è una v.a. $X$ con densità proporzionale a $x^3$ su $[0, 6]$. Così come è scritta sulla slide ($\frac{x^3}{216}$) non è normalizzata: $\int_0^6\frac{x^3}{216}\,dx = \frac{6^4}{4\cdot 216} = \frac32$; la costante giusta è $\frac{1}{324}$ (perché $\int_0^6x^3 = 324$). Con $f_X(x) = \frac{x^3}{324}$: $$E[X] = \int_0^6\frac{x^4}{324}\,dx = \frac{6^5}{5\cdot 324} = 4.8$$ In centinaia di km ($1$ miglio $= 1.61$ km) la distanza è $Y = 1.61\,X$. Densità di $Y$ (con il metodo della funzione di distribuzione): $F_Y(y) = P\left(X \le \frac{y}{1.61}\right) = F_X\left(\frac{y}{1.61}\right)$, quindi $f_Y(y) = \frac{1}{1.61}f_X\left(\frac{y}{1.61}\right)$ per $0 < y < 9.66$. Media: per la linearità $E[Y] = 1.61\cdot 4.8 \approx 7.73$ (centinaia di km).

Varianza

Definizione. $\operatorname{Var}[X] := E\left[(X - E[X])^2\right] = \int(x - E[X])^2f_X(x)\,dx$, e vale la formula $\operatorname{Var}[X] = E[X^2] - E[X]^2$. Proprietà. $\operatorname{Var}[aX + b] = a^2\operatorname{Var}[X]$; se $X$, $Y$ sono indipendenti $\operatorname{Var}[X + Y] = \operatorname{Var}[X] + \operatorname{Var}[Y]$ (anche se una è discreta e l'altra continua); variabili con la stessa distribuzione hanno la stessa varianza.

Uniforme. $E[X^2] = \int_a^b\frac{x^2}{b - a}\,dx = \frac{b^3 - a^3}{3(b - a)} = \frac{a^2 + ab + b^2}{3}$, e $$\operatorname{Var}[X] = \frac{a^2 + ab + b^2}{3} - \frac{(a + b)^2}{4} = \frac{4a^2 + 4ab + 4b^2 - 3a^2 - 6ab - 3b^2}{12} = \frac{(b - a)^2}{12}$$

Esponenziale. Per parti due volte, $E[X^2] = \lambda\int_0^\infty x^2e^{-\lambda x}\,dx = \frac{2}{\lambda^2}$, quindi $$\operatorname{Var}[X] = \frac2{\lambda^2} - \frac1{\lambda^2} = \frac1{\lambda^2}, \qquad \sigma_X = \frac1\lambda = E[X]$$

Legge	densità	$E[X]$	$\operatorname{Var}[X]$
$U(a, b)$	$\frac1{b-a}$ su $(a, b)$	$\frac{a+b}2$	$\frac{(b-a)^2}{12}$
$\operatorname{Exp}(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x}$, $x > 0$	$\frac1\lambda$	$\frac1{\lambda^2}$

Esempio del prof. $f_X(x) = ax^2$ su $[0, 1]$.

1. $\int_0^1 ax^2 = \frac a3 = 1$, quindi $a = 3$.
2. $P\left(X > \frac12\right) = \int_{1/2}^1 3x^2\,dx = 1 - \frac18 = \frac78$.
3. $E[X] = \int_0^1 3x^3 = \frac34$, $E[X^2] = \int_0^1 3x^4 = \frac35$, $\operatorname{Var}[X] = \frac35 - \frac9{16} = \frac{3}{80}$.

Esercizi: Esercizio 53 · valori attesi e varianze di variabili continue.

Errori comuni

• Dimenticare di verificare la normalizzazione della densità prima di calcolare medie (il TIR).
• Integrare su tutto $\mathbb{R}$ formule valide solo dove la densità è non nulla.
• Confondere media e mediana per distribuzioni asimmetriche.