Esercizio 2rendere cartesiana una curva con un cambio di variabile

Testo (Esercizi per venerdì, settimana 1, foglio 2). Sia $f(t) = (t^3, \cos(t^6))$, $t \in [0, 8]$. Dire se $f$ è curva cartesiana. In caso contrario si può trovare un cambio di variabili $t = \varphi(u)$, $u \in I$ biunivoco tale che $f(\varphi(u))$ è cartesiana? In caso affermativo precisare l'intervallo $I$ e la funzione $\varphi$.

Teoria: Curve parametriche e sostegnoUna curva è una funzione continua f : [a,b] → Rⁿ, t ↦ (f₁(t), …, fₙ(t)); il sostegno è la sua immagine, l'insieme dei punti percorsi. Curve diverse possono avere lo stesso sostegno. Esempi base: cerchio (a + r cos t, b + r sin t), segmento P + t(Q − P), grafico (t, h(t)) (curva cartesiana), ellisse (a + A cos t, b + B sin t). Chiusa: f(a) = f(b); semplice: nessuna autointersezione (tranne eventualmente f(a) = f(b)). Limiti e continuità si fanno componente per componente.Curve parametriche e sostegno →, Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilineaf : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea →.

$f$ è cartesiana?

Una curva cartesianaUna curva della forma (t, h(t)) oppure (h(t), t): una delle due componenti è il parametro stesso. ha una delle due componenti uguale al parametro: $(t, h(t))$ oppure $(h(t), t)$. Qui le componenti sono $t^3$ e $\cos(t^6)$, nessuna delle due è $t$: nella forma data, $f$ non è cartesiana.

Però il sostegno è un grafico. Chiamiamo $x = t^3$: allora $t^6 = (t^3)^2 = x^2$, e la seconda componente è $\cos(x^2)$. Quindi ogni punto di $f$ ha la forma $(x, \cos(x^2))$: il sostegno è il grafico di $h(x) = \cos(x^2)$. Per $t \in [0, 8]$, $x = t^3$ va da $0$ a $8^3 = 512$.

Il cambio di variabile

L'idea è usare come nuovo parametro proprio $u = t^3$ (la prima componente). Invertendo, $t = \sqrt[3]{u}$: $$\varphi(u) = \sqrt[3]{u} = u^{1/3}, \qquad u \in I = [0, 512]$$

$\varphi$ è biunivoca da $[0, 512]$ a $[0, 8]$: è continua e strettamente crescente (radice cubica), $\varphi(0) = 0$ e $\varphi(512) = 8$, quindi per il teorema dei valori intermediTeoremi sulle funzioni continue su un intervallo: zeri (con la bisezione), valori intermedi (f manda intervalli in intervalli), monotonia e continuità, continuità dell'inversa, Weierstrass (su [a, b] ci sono massimo e minimo).Funzioni continue su un intervallo → assume tutti i valori di $[0, 8]$ esattamente una volta.

La nuova curva: $$f(\varphi(u)) = \big((u^{1/3})^3,\ \cos((u^{1/3})^6)\big) = (u,\ \cos(u^2)), \qquad u \in [0, 512]$$ che è cartesiana, della forma $(u, h(u))$ con $h(u) = \cos(u^2)$.

Un'osservazione sul tipo di cambio

Il testo chiede solo un cambio biunivoco. Per essere un cambio di parametro "ammissibile" nel senso delle parametrizzazioni equivalentif : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea → servirebbe anche $\varphi \in C^1$ con $\varphi' \ne 0$. Qui $$\varphi'(u) = \frac{1}{3u^{2/3}}$$ è definita e positiva per $u > 0$, ma esplode in $u = 0$ (la radice cubica ha tangente verticale nell'origine). Il motivo: la curva originale ha velocità nulla in $t = 0$, perché $f'(t) = (3t^2, -6t^5\sin(t^6))$ vale $(0, 0)$ per $t = 0$, mentre la curva cartesiana ha sempre velocità con prima componente $1$. Un cambio che trasforma "velocità $0$" in "velocità $\ne 0$" non può avere derivata finita in quel punto. Su ogni intervallo $[\varepsilon, 512]$ con $\varepsilon > 0$ il cambio è invece ammissibile.

Errori comuni

• Concludere "non è cartesiana, quindi il sostegno non è un grafico": la forma della parametrizzazione e la natura del sostegno sono cose diverse.
• Sbagliare l'intervallo: il nuovo parametro varia in $[0^3, 8^3] = [0, 512]$, non in $[0, 8]$.