Esercizio 61Markov, Chebyshev e stima di una frequenza

Testo (esercizi di applicazione della Lezione 10 di probabilità).

1. Sia $X \sim \operatorname{Exp}(1)$. Stimare $P(X \ge 3)$ con la disuguaglianza di Markov e con quella di Chebyshev, e confrontare con il valore esatto.
2. Si lancia $100$ volte un dado equilibrato. Stimare la probabilità che la somma dei punteggi si discosti da $350$ di almeno $50$, con Chebyshev e con il teorema centrale del limite.
3. Quante volte bisogna lanciare una moneta equilibrata perché la frequenza delle teste disti da $\frac12$ meno di $0.01$ con probabilità almeno $95\%$? Rispondere con Chebyshev e con il TCL.

Teoria: Disuguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeriMarkov: se X ≥ 0, P(X ≥ a) ≤ E[X]/a. Chebyshev: P(|X − μ| ≥ ε) ≤ Var[X]/ε², valida per ogni legge (stime grossolane ma universali). Legge debole dei grandi numeri: per X₁, X₂, … i.i.d. con media μ e varianza finita, P(|X̄ₙ − μ| ≥ ε) ≤ σ²/(nε²) → 0. Legge forte: con probabilità 1 la media campionaria X̄ₙ tende a μ; in particolare la frequenza dei successi in prove indipendenti tende alla probabilità p, giustificando l'idea frequentista.Disuguaglianza di Chebyshev e legge dei grandi numeri →, Teorema centrale del limite e correzione di continuitàSe X₁, X₂, … sono i.i.d. con media μ e varianza σ², la somma standardizzata (X₁ + ⋯ + Xₙ − nμ)/√(nσ²) tende in distribuzione a N(0,1): P(Sₙ ≤ a) ≈ Φ((a − nμ)/√(nσ²)) per n grande, qualunque sia la legge delle Xᵢ (servono indipendenza e stessa legge). Per la media campionaria: media μ, varianza σ²/n. Casi particolari: B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) per n grande; Po(λ) ≈ N(λ, λ) per λ ≥ 50. Per variabili a valori interi si usa la correzione di continuità: P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0.5), P(X = k) ≈ P(k − 0.5 ≤ Y ≤ k + 0.5).Teorema centrale del limite e correzione di continuità →.

1. L'esponenziale

$E[X] = 1$, $\operatorname{Var}[X] = 1$.

• Markov ($X \ge 0$): $P(X \ge 3) \le \frac{E[X]}{3} = \frac13 \approx 0.33$.
• Chebyshev: $\{X \ge 3\} \subseteq \{|X - 1| \ge 2\}$, quindi $P(X \ge 3) \le \frac{\operatorname{Var}[X]}{2^2} = \frac14 = 0.25$.
• Valore esatto: $P(X \ge 3) = e^{-3} \approx 0.050$.

Le due disuguaglianze sono vere ma molto pessimistiche: usano solo media e varianza, e devono valere per ogni legge con quei valori.

2. La somma di $100$ dadi

Un lancio ha media $\frac72$ e varianza $\frac{35}{12}$; la somma $S$ di $100$ lanci indipendenti ha media $350$ e varianza $\frac{3500}{12} \approx 291.7$ (deviazione standard $\approx 17.08$).

• Chebyshev: $P(|S - 350| \ge 50) \le \frac{291.7}{2500} \approx 0.117$.
• TCL (la somma è intera: con la correzione di continuità $|S - 350| \ge 50 \to |Y - 350| \ge 49.5$): $2\left(1 - \Phi\left(\frac{49.5}{17.08}\right)\right) = 2(1 - \Phi(2.90)) \approx 0.004$.

La stima di Chebyshev è circa $30$ volte più grande: quando si può usare il TCL, dà risultati molto più precisi.

3. Quanti lanci per stimare $p = \frac12$

La frequenza è $\bar X_n$, con media $\frac12$ e varianza $\frac{p(1 - p)}{n} = \frac{1}{4n}$. Si vuole $P(|\bar X_n - \frac12| \ge 0.01) \le 0.05$.

Con Chebyshev: $P\left(|\bar X_n - \frac12| \ge 0.01\right) \le \frac{1/(4n)}{0.01^2} = \frac{2500}{n}$, che è $\le 0.05$ per $$n \ge \frac{2500}{0.05} = 50\,000$$ (garantito, qualunque cosa succeda).

Con il TCL: $\bar X_n \approx N\left(\frac12, \frac{1}{4n}\right)$, quindi $P\left(|\bar X_n - \frac12| < 0.01\right) \approx 2\Phi\left(0.01\cdot 2\sqrt n\right) - 1 \ge 0.95$ richiede $\Phi(0.02\sqrt n) \ge 0.975$, cioè $0.02\sqrt n \ge 1.96$: $$n \ge \left(\frac{1.96}{0.02}\right)^2 = 9604$$

Interpretazione: la legge dei grandi numeri garantisce che la frequenza converge a $\frac12$, ma lentamente: l'errore si riduce come $\frac{1}{\sqrt n}$, e per un errore di un centesimo servono circa diecimila lanci (è anche la ragione per cui i sondaggi usano campioni di un migliaio di persone e hanno errori di qualche punto percentuale).

Errori comuni

• Usare Chebyshev con la varianza della singola prova invece di quella della media ($\frac{\sigma^2}n$).
• Credere che Chebyshev dia la probabilità: dà solo un limite superiore.