Gradiente e direzione di massima crescita

Lezione 3 di analisi, Unità 2. Prerequisiti: Derivate direzionali e parzialiLa derivata direzionale di f in p lungo u è D_u f(p) = lim_{t→0} (f(p + tu) − f(p))/t, cioè la derivata in t = 0 di g(t) = f(p + tu): quanto sale f partendo da p lungo u. Le derivate parziali sono le direzionali lungo gli assi, ∂f/∂xᵢ = D_{eᵢ}f, e si calcolano derivando rispetto a xᵢ con le altre variabili ferme. Avere tutte le derivate direzionali NON implica la continuità (x²y/(x⁴ + y²)). Valgono linearità, regola del prodotto e della catena con φ di una variabile.Derivate direzionali e parziali →, Norma, distanza e prodotto scalare in RnIn Rⁿ la norma è |x| = √(x₁² + … + xₙ²) e la distanza tra x e y è |x − y|. Valgono la disuguaglianza triangolare |x + y| ≤ |x| + |y| e quella di Cauchy-Schwarz |x·y| ≤ |x||y|, con uguaglianza solo per vettori paralleli. Palle B(p,r] e cubi Q(p,r] si contengono a vicenda: B(p,r] ⊆ Q(p,r] ⊆ B(p,r√n]. Rette, piani, ellissi e cilindri si riconoscono dall'equazione (completando i quadrati).Norma, distanza e prodotto scalare in Rn → (Cauchy-Schwarz).

Definizione

Definizione. Se $f$ ha derivate parziali in $p \in \operatorname{int}(D)$, il gradiente di $f$ in $p$ è il vettore $$\nabla f(p) := \big(\partial_{x_1}f(p), \dots, \partial_{x_n}f(p)\big)$$

Esempi.

• $\nabla(x^2 + 2y\sin x) = (2x + 2y\cos x,\ 2\sin x)$: per la prima componente $y$ è costante, e $2y\sin x$ si deriva in $2y\cos x$; per la seconda $x$ è costante.
• $\nabla(x^2 + y^2) = (2x, 2y) = 2(x, y)$: nel punto $p$ il gradiente è $2p$, che punta in direzione opposta all'origine.

Il gradiente della norma

Per $x \ne 0$ in $\mathbb{R}^n$: $|x| = \sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}$ e $$\partial_{x_i}|x| = \frac{2x_i}{2\sqrt{x_1^2 + \cdots + x_n^2}} = \frac{x_i}{|x|} \quad\Longrightarrow\quad \nabla|x| = \frac{x}{|x|}$$ È il versore radiale: ha norma $1$ e punta lontano dall'origine. Nell'origine $|x|$ non ha derivate parziali (è il cono).

Regole di calcolo

Se $f, g$ hanno derivate parziali in $p$:

1. $\nabla(f + g) = \nabla f + \nabla g$;
2. $\nabla(fg) = g\,\nabla f + f\,\nabla g$;
3. $\nabla(cf) = c\,\nabla f$;
4. se $\varphi$ è di una variabile, derivabile in $f(p)$: $\nabla(\varphi \circ f)(p) = \varphi'(f(p))\,\nabla f(p)$.

Esempi.

• $\nabla|x|^5$: con $\varphi(s) = s^5$, $\nabla|x|^5 = 5|x|^4\cdot\frac{x}{|x|} = 5|x|^3\,x$.
• Funzioni radiali. Se $\varphi : ]0, +\infty[ \to \mathbb{R}$ è derivabile, per $x \ne 0$ $$\nabla\varphi(|x|) = \varphi'(|x|)\,\frac{x}{|x|}$$ Il gradiente di una funzione radiale è sempre radiale (parallelo a $x$): ha senso, perché una funzione che dipende solo dalla distanza dall'origine non cambia girando attorno all'origine.

Funzioni di classe $C^1$

Definizione. $f$ è di classe $C^1$ in un aperto se è continua e le sue derivate parziali esistono e sono continue in quell'aperto.

Esempio. $f(x, y) = x^2\sin(xy)$ è $C^1$ su $\mathbb{R}^2$: $\partial_x f = 2x\sin(xy) + x^2y\cos(xy)$ e $\partial_y f = x^3\cos(xy)$ sono composizioni di polinomi e funzioni continue. In pratica, ogni funzione costruita con formule elementari è $C^1$ nell'aperto in cui le formule (e quelle delle derivate) hanno senso; i punti da studiare a parte sono quelli dove la formula cambia o non è definita.

La formula del gradiente

Teorema (formula del gradiente). Se $f$ è di classe $C^1$ attorno a $p$, allora $f$ ha derivata direzionale lungo ogni vettore e $$D_u f(p) = \nabla f(p)\cdot u = \partial_{x_1}f(p)\,u_1 + \cdots + \partial_{x_n}f(p)\,u_n \qquad \forall u \in \mathbb{R}^n$$ In particolare $u \mapsto D_u f(p)$ è lineare.

Perché è sorprendente. Le $n$ derivate parziali guardano $f$ solo lungo gli $n$ assi; la formula dice che, per una funzione $C^1$, bastano a conoscere la derivata in tutte le infinite direzioni. Nell'esempio della nota precedente ($f = 0$ sugli assi, $2x + y$ altrove) questo falliva: le parziali erano nulle ma $D_{(1,1)}f(0,0) = 3$. Quella funzione infatti non è nemmeno continua nell'origine, figurarsi $C^1$. La dimostrazione si fa con la regola della catena (vedi Differenziabilità, piano tangente e linearizzazionef è differenziabile in p se f(x) = f(p) + ∇f(p)·(x − p) + R(x) con R(x)/|x − p| → 0: vicino a p il grafico è quasi il suo spazio tangente z = f(p) + ∇f(p)·(x − p) (per n = 2 il piano tangente). La funzione affine L(x) = f(p) + ∇f(p)·(x − p) è la linearizzazione e serve per le stime (Δf ≈ ∇f·Δx). C¹ ⇒ differenziabile ⇒ continua e D_u f(p) = ∇f(p)·u per ogni u. Per verificare la differenziabilità in un punto: derivate parziali con la definizione, poi limite di [f(p+h) − f(p) − ∇f(p)·h]/|h|.Differenziabilità, piano tangente e linearizzazione →: la formula vale per tutte le funzioni differenziabili, e le $C^1$ lo sono).

Esempi del prof.

• $f(x, y) = x^2 + 2xy$, calcolo di $D_{(3,-1)}f(1, 2)$. $\nabla f = (2x + 2y,\ 2x)$, in $(1, 2)$ vale $(6, 2)$. Quindi $D_{(3,-1)}f(1, 2) = (6, 2)\cdot(3, -1) = 18 - 2 = 16$.
• $f(x) = |x|^2$ su $\mathbb{R}^n$: $\nabla f(p) = 2p$, quindi $D_u f(p) = 2\,p\cdot u$ (lo stesso risultato trovato con la definizione).
• Una funzione non $C^1$: per $f = \frac{x^2y}{x^4 + y^2}$ (con $f(0,0) = 0$) le derivate parziali nell'origine sono $\partial_x f = \partial_y f = 0$ (la funzione è nulla sugli assi), quindi la formula darebbe $D_u f(0,0) = 0$ per ogni $u$. Ma il calcolo diretto dà $D_u f(0,0) = \frac{u_1^2}{u_2}$ per $u_2 \ne 0$, che non è lineare in $u$. La formula fallisce: $f$ non è $C^1$ attorno all'origine (non è nemmeno continua).

Direzione di massima e minima crescita

Proposizione. Sia $f$ di classe $C^1$ attorno a $p$ con $\nabla f(p) \ne 0$. Al variare dei versori $u$ ($|u| = 1$):

• $D_u f(p)$ è massima per $u_{\max} = \dfrac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|}$, e vale $D_{u_{\max}}f(p) = |\nabla f(p)|$;
• $D_u f(p)$ è minima per $u_{\min} = -\dfrac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|}$, e vale $-|\nabla f(p)|$;
• $D_u f(p) = 0$ per i versori ortogonali a $\nabla f(p)$.

Dimostrazione. Per la formula del gradiente e Cauchy-Schwarz, per ogni versore $u$ $$-|\nabla f(p)| \le D_u f(p) = \nabla f(p)\cdot u \le |\nabla f(p)|\,|u| = |\nabla f(p)|$$ e l'uguaglianza a destra (a sinistra) vale solo se $u$ è un multiplo positivo (negativo) di $\nabla f(p)$, cioè $u = \pm\frac{\nabla f(p)}{|\nabla f(p)|}$. Infine $\nabla f(p)\cdot u = 0$ esattamente per $u \perp \nabla f(p)$ ∎.

In parole: il gradiente punta nella direzione di salita più ripida, e la sua lunghezza è la pendenza massima. L'opposto del gradiente è la direzione di discesa più ripida (quella che segue l'acqua che scorre). Le direzioni perpendicolari al gradiente sono quelle in cui, localmente, si resta alla stessa quota: le direzioni delle curve di livello (vedi Regola della catena in più variabiliSe x(t) è una curva derivabile e f è differenziabile in x(t₀), allora (f∘x)'(t₀) = ∇f(x(t₀))·x'(t₀) = Σ ∂ᵢf(x(t₀)) xᵢ'(t₀): la variazione di f lungo il moto è il gradiente per la velocità. Serve per derivare composte come f(2t, t²), per ricavare il gradiente da informazioni lungo curve, per le derivate di f(g(s,t)) e per provare che il gradiente è ortogonale alle curve di livello.Regola della catena in più variabili →).

Esempio del prof: la montagna $f(x, y) = 1000\,e^{-(x^2 + 5y^2)}$, nel punto $(10, -8)$.

$\nabla f = 1000\,e^{-(x^2 + 5y^2)}\,(-2x,\ -10y)$ (regola 4 con $\varphi = e^s$). In $(10, -8)$: $x^2 + 5y^2 = 100 + 320 = 420$ e $$\nabla f(10, -8) = 1000\,e^{-420}\,(-20,\ 80) = 20000\,e^{-420}\,(-1,\ 4)$$

1. Salita massima: lungo $u_{\max} = \frac{(-1, 4)}{\sqrt{17}}$ (il fattore positivo $20000\,e^{-420}$ non cambia la direzione).
2. Pendenza massima: $|\nabla f(10, -8)| = 20000\sqrt{17}\,e^{-420}$, un numero piccolissimo (siamo lontanissimi dalla vetta, dove la montagna è quasi piatta).
3. Discesa massima: lungo $\frac{(1, -4)}{\sqrt{17}}$, con pendenza $-20000\sqrt{17}\,e^{-420}$.
4. Stessa quota: lungo i versori ortogonali a $(-1, 4)$, cioè $\pm\frac{(4, 1)}{\sqrt{17}}$.

Altri esempi (il ruscello, il lago) nell'Esercizio 16 · gradiente, direzioni di massima pendenza e il lago.

Errori comuni

• Usare la formula del gradiente per una funzione non $C^1$ (o non differenziabile): può dare un risultato sbagliato.
• Dimenticare di normalizzare: la direzione di massima crescita è il versore $\frac{\nabla f}{|\nabla f|}$; la pendenza massima è $|\nabla f|$, non $\nabla f$.
• Confondere "stessa quota" con "gradiente nullo": le direzioni di quota costante esistono in ogni punto (sono ortogonali al gradiente); il gradiente nullo indica invece un punto critico.