Lezione 14Variabili aleatorie discrete, binomiale e geometrica

Modulo: Probabilità, Lezione 4 ("Variabili aleatorie discrete"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Variabili aleatorie: due esperimenti con la stessa domanda; definizione; variabili discrete; densità discreta; la variabile di Bernoulli e la notazione $X \sim \operatorname{Be}(p)$.
2. Unità 2 - Funzione di distribuzione: definizione ed esempi (Bernoulli, autobus, due dadi, imperfezioni di un rotolo); proprietà; come si calcolano $P(X = a)$, $P(X < a)$, $P(a < X \le b)$ con $F_X$.
3. Unità 3 - La variabile binomiale: sette lanci di un dado; definizione; forma delle densità; la fabbrica di smartphone; variabili indipendenti; la binomiale come somma di Bernoulli indipendenti; estrazioni senza reimmissione.
4. Unità 4 - La variabile geometrica: tempo d'attesa del primo successo; $P(X > k)$; assenza di memoria; la zia e il lotto.

Teoria

• Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzioneUna variabile aleatoria è una funzione X : Ω → R; {X ∈ A} = X⁻¹(A) è un evento. X è discreta se assume un insieme finito o numerabile di valori x₀, x₁, …; la densità discreta pₓ(x) = P(X = x) ha somma 1 e determina tutto: P(X ∈ A) = Σ_{xₖ∈A} pₓ(xₖ). La funzione di distribuzione Fₓ(x) = P(X ≤ x) è crescente, continua a destra, con limiti 0 e 1; P(a < X ≤ b) = F(b) − F(a), P(X = a) = F(a) − F(a⁻) (il salto in a), P(X < a) = F(a⁻). Per una discreta F è a gradini. Bernoulli Be(p): vale 1 (successo) con probabilità p, 0 altrimenti.Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione →
• Variabili binomiale e geometricaIn n prove di Bernoulli indipendenti con successo di probabilità p, il numero di successi X ~ B(n,p) ha P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ, k = 0,…,n; equivalentemente X è somma di n Bernoulli Be(p) indipendenti. Senza indipendenza (estrazioni senza reimmissione) la somma non è binomiale (legge ipergeometrica). Il numero di prove fino al primo successo X ~ Ge(p) ha P(X = k) = p(1−p)ᵏ⁻¹, k ≥ 1, e P(X > k) = (1−p)ᵏ; è senza memoria: P(X > k+m | X > k) = P(X > m) (i numeri ritardatari del lotto non sono "più probabili").Variabili binomiale e geometrica →

Esercizi

• Esercizio 48 · densità discrete e funzioni di distribuzione — esempi della lezione, appello del 5/9/2017
• Esercizio 49 · binomiali, geometriche e assenza di memoria — Ripassi 3.23, 3.27, 3.30, 3.31, compitino 2015, appello 2014/15