Esercizio 38contare con sequenze, sottoinsiemi e anagrammi

Testo (Lezione 1 di probabilità).

1. (Esercizio di ricapitolazione.) Un'urna contiene $25$ palline Nere numerate da $1$ a $25$ e $30$ palline Rosse numerate da $1$ a $30$. Se ne estraggono $16$ senza reimmissione e si allineano (conta l'ordine). (a) Quanti sono i possibili esiti dell'estrazione? (b) Quante sono le estrazioni con esattamente $10$ Nere e $6$ Rosse? (c) Rispondere alle domande precedenti se non si tiene conto dell'ordine.
2. (MOOC.) In un mazzo da poker una doppia coppia è una mano di $5$ carte costituita da due coppie di tipi diversi (es: $2$ Jack, $2$ Assi) e da una carta di tipo diverso dalle precedenti. Quante doppie coppie è possibile realizzare?
3. (MOOC.) Un mazzo da poker è costituito da $52$ carte ($13$ Fiori, $13$ Cuori, $13$ Picche, $13$ Quadri). Un full è un sottoinsieme di $5$ carte costituito dall'unione di un tris (un sottoinsieme di $3$ carte dello stesso tipo) e di una coppia (un sottoinsieme di due carte dello stesso tipo). Quanti sono i possibili full?
4. Quanti sono gli anagrammi di (M, A, T, E, M, A, T, I, C, A)?

Teoria: Cardinalità, sequenze e principio di moltiplicazione|A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| (inclusione-esclusione), |A × B| = |A||B|, |Aᶜ| = |X| − |A|; due insiemi hanno la stessa cardinalità se sono in biiezione. Una k-sequenza di Iₙ = {1,…,n} è una k-upla ordinata (conta l'ordine): sono nᵏ; distribuire k oggetti distinti in n scatole (spartizioni) equivale a una k-sequenza di Iₙ. Principio di moltiplicazione: se un oggetto si costruisce in fasi con m₁, …, mₙ esiti e l'oggetto finale determina gli esiti di tutte le fasi, il numero è m₁⋯mₙ. I sottoinsiemi di Iₙ sono 2ⁿ.Cardinalità, sequenze e principio di moltiplicazione →, Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammin! conta le permutazioni di n oggetti; le k-sequenze senza ripetizione di Iₙ sono n!/(n−k)!. Principio di divisione: se ogni elemento di Y corrisponde a esattamente m elementi di X, |Y| = |X|/m. Da qui i k-sottoinsiemi di Iₙ sono C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) (ogni insieme viene da k! sequenze). Anagrammi di una parola con k₁, …, kₙ ripetizioni: k!/(k₁!⋯kₙ!). Procedura: strutture ordinate → sequenze e PM; non ordinate → insiemi o principio di divisione; contare solo alla fine. Stirling: n! ~ √(2πn)(n/e)ⁿ.Sottoinsiemi, principio di divisione e anagrammi →.

1. L'urna con $25$ nere e $30$ rosse

Le palline sono tutte distinte (colore e numero): in tutto $55$.

(a) Esiti ordinati. Sono le $16$-sequenze senza ripetizione di $55$ oggetti: $$\frac{55!}{39!} = 55\cdot 54\cdots 40 \approx 6.22\cdot 10^{26}$$

(b) Ordinate con esattamente $10$ nere e $6$ rosse. Si costruisce la sequenza in tre fasi:

1. le posizioni delle nere nella fila di $16$: un sottoinsieme di $10$ posizioni, $\binom{16}{10}$ modi;
2. quali nere, in ordine, occupano quelle posizioni: $10$-sequenze senza ripetizione di $25$, cioè $\frac{25!}{15!}$;
3. quali rosse, in ordine, nelle altre $6$ posizioni: $\frac{30!}{24!}$.

La sequenza finale determina le tre scelte, quindi (PM) $$\binom{16}{10}\cdot\frac{25!}{15!}\cdot\frac{30!}{24!} \approx 4.06\cdot 10^{25}$$

(c) Senza ordine. Gli esiti sono i sottoinsiemi di $16$ palline: $\binom{55}{16} \approx 2.97\cdot 10^{13}$. Con esattamente $10$ nere e $6$ rosse: si sceglie l'insieme delle nere e quello delle rosse, $$\binom{25}{10}\binom{30}{6} \approx 1.94\cdot 10^{12}$$

Controllo con il principio di divisione: ogni insieme di $16$ palline corrisponde a $16!$ sequenze, e infatti $\frac{55!/39!}{16!} = \binom{55}{16}$ e $\frac{(b)}{16!} = \binom{25}{10}\binom{30}6$ (verificato con Python). Il rapporto tra casi con $10$ nere e casi totali è lo stesso nei due modelli ($\approx 0.065$): per le probabilità si può usare indifferentemente il modello ordinato o quello non ordinato, purché lo stesso per numeratore e denominatore.

2. La doppia coppia

Un mazzo ha $13$ tipi (A, 2, …, 10, J, Q, K), ciascuno in $4$ semi. Si costruisce la mano in fasi che il risultato determina univocamente:

1. i due tipi delle coppie, come insieme (non conta quale coppia è "prima"): $\binom{13}{2} = 78$;
2. i due semi per la coppia del tipo più basso: $\binom42 = 6$; e per l'altra: $\binom42 = 6$;
3. la quinta carta, di un tipo diverso dai due: $52 - 8 = 44$ carte.

$$\binom{13}{2}\cdot\binom42^2\cdot 44 = 78\cdot 36\cdot 44 = 123\,552$$

Attenzione all'errore classico: scegliere "il tipo della prima coppia ($13$) e poi quello della seconda ($12$)" conta ogni mano due volte (Jack-Assi e Assi-Jack sono la stessa mano): darebbe il doppio.

3. Il full

Qui i due tipi hanno ruoli diversi (uno per il tris, uno per la coppia), quindi l'ordine conta:

1. tipo del tris: $13$; i suoi $3$ semi: $\binom43 = 4$;
2. tipo della coppia, diverso: $12$; i suoi $2$ semi: $\binom42 = 6$.

$$13\cdot 4\cdot 12\cdot 6 = 3744$$ Su $\binom{52}{5} = 2\,598\,960$ mani possibili, la probabilità di un full servito è $\frac{3744}{2\,598\,960} \approx 0.0014$.

Confronto con il punto 2: nella doppia coppia i due tipi sono intercambiabili (insieme, $\binom{13}{2}$), nel full no (sequenza, $13\cdot 12$).

4. Anagrammi di MATEMATICA

$10$ lettere con ripetizioni M ($2$), A ($3$), T ($2$), E, I, C ($1$): $$\frac{10!}{2!\,3!\,2!\,1!\,1!\,1!} = \frac{3\,628\,800}{24} = 151\,200$$

Errori comuni

• Nella doppia coppia, scegliere i tipi in ordine (si conta due volte ogni mano).
• Nel punto 1(b), dimenticare di scegliere le posizioni delle nere nella fila.
• Mescolare modello ordinato e non ordinato tra numeratore e denominatore di una probabilità.