Lezione 04 — Massimi e minimi

Modulo: Analisi, Lezione 4 ("Massimi e minimi"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Condizioni necessarie, la regola di Fermat: i problemi del profitto e del pacco postale; estremi locali e assoluti; regola di Fermat e punti critici; punti di sella ($x^2 - y^2$); ricerca dei punti critici ($2x^3 - 6xy + 3y^2$).
2. Unità 2 - Condizioni sufficienti, il criterio dell'hessiana: ripasso del caso di una variabile; forme quadratiche e criterio del determinante; criterio dell'hessiana; il caso $\det = 0$ ($x^4 + y^4$, $-x^4 - y^4$, $x^4 - y^4$, $x^3 + (y - x)^2$).
3. Unità 3 - Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati: teorema di Weierstrass; metodo dei candidati interni e sul bordo; $xy - 3x$ su $x^2 \le y \le 9$; il profitto; $x^2 + y^2 - 2y + 1$ sul disco; il pacco postale.

Teoria

• Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessianaRegola di Fermat: in un punto interno di massimo o minimo locale, dove f è derivabile, ∇f(p) = 0 (punto critico). Non vale il viceversa: x² − y² ha in (0,0) un punto di sella. Per f ∈ C² in un punto critico interno, criterio dell'hessiana in due variabili: det Hess > 0 e f_xx > 0 → minimo locale stretto; det > 0 e f_xx < 0 → massimo locale stretto; det < 0 → sella; det = 0 → il criterio non decide (x⁴ + y⁴, −x⁴ − y⁴, x⁴ − y⁴) e si studia il segno di f(x) − f(p) direttamente.Massimi e minimi liberi - punti critici e matrice hessiana →
• Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitatiTeorema di Weierstrass: una funzione continua su un insieme chiuso e limitato (compatto) ha massimo e minimo assoluti. Per trovarli si confrontano i valori di f nei candidati: i punti critici interni e i punti di massimo e minimo di f ristretta al bordo (che si studia parametrizzando ogni pezzo del bordo e riducendosi a funzioni di una variabile, vertici compresi). Esempi: profitto massimo 648 in (21, 3); pacco postale con volume massimo 64/27 (il cubo di lato 4/3).Massimi e minimi assoluti su domini chiusi e limitati →

Esercizi

• Esercizio 21 · punti critici e criterio dell'hessiana — esercizi 1-3, appello del 5/9/2017, I compitino 2014
• Esercizio 22 · punti critici con hessiana degenere — esercitazione, esercizio 4, Ripassi 1.14 e 1.15
• Esercizio 23 · massimi e minimi assoluti su compatti — appello del 9/7/2019, Ripassi 1.12, 1.13 e 1.16
• Esercizio 64 · esercizi d'esame su gradiente e punti critici — appelli 2014-2018: direzioni di massima crescita e discesa, gradiente di una composta, punti critici, punti più vicini all'origine