Variabili aleatorie discrete e funzione di distribuzione

Lezione 4 di probabilità, Unità 1-2. Prerequisiti: Definizione assiomatica e continuità della probabilitàUna probabilità su Ω è P : eventi → [0,1] con P(∅) = 0, P(Ω) = 1 e σ-additività: P(⋃Aᵢ) = Σ P(Aᵢ) per eventi a due a due disgiunti (anche infiniti numerabili). Ne seguono additività finita, monotonia (E ⊆ F ⇒ P(E) ≤ P(F)), P(F∖E) = P(F) − P(E) e inclusione-esclusione. Esempi: pesi pₖ ≥ 0 con Σpₖ = 1 su spazi finiti o numerabili; la lunghezza su [0,1] e l'area sul quadrato; infiniti lanci di moneta. Continuità: per eventi crescenti P(⋃Eᵢ) = lim P(Eᵢ), per decrescenti P(⋂Eᵢ) = lim P(Eᵢ).Definizione assiomatica e continuità della probabilità →, Eventi indipendenti e indipendenza condizionataA e B sono indipendenti se P(AB) = P(A)P(B), cioè (se P(B) > 0) P(A | B) = P(A): sapere B non cambia la probabilità di A. Se A, B sono indipendenti lo sono anche A e Bᶜ. Tre eventi sono indipendenti se lo sono a coppie E P(ABC) = P(A)P(B)P(C): l'indipendenza a coppie non basta. Prove ripetute indipendenti: le probabilità si moltiplicano. Indipendenza condizionata a F: P(AB | F) = P(A | F)P(B | F); non implica l'indipendenza (due lanci della stessa moneta scelta a caso). Eventi disgiunti con probabilità positive non sono mai indipendenti.Eventi indipendenti e indipendenza condizionata →.

Variabili aleatorie

Due esperimenti diversi, la stessa domanda. (1) Si lancia tre volte un dado: probabilità che il $6$ esca due volte? (2) Si lancia tre volte una moneta truccata che dà testa con probabilità $\frac16$: probabilità di due teste? Gli spazi campionari sono diversi (terne di $\{1, \dots, 6\}$ e terne di $\{T, C\}$), ma in entrambi interessa solo un numero associato all'esito: quante volte si è avuto "successo". E la risposta è la stessa, $3\cdot\left(\frac16\right)^2\cdot\frac56 = \frac{5}{72}$. Le variabili aleatorie servono a "dimenticare" lo spazio campionario e lavorare con i numeri che interessano.

Definizione. Una variabile aleatoria (v.a.) su $\Omega$ è una funzione $X : \Omega \to \mathbb{R}$.

Per ogni $x \in \mathbb{R}$ e $A \subseteq \mathbb{R}$ si scrive $$\{X = x\} := \{\omega \in \Omega : X(\omega) = x\} = X^{-1}(\{x\}), \qquad \{X \in A\} := X^{-1}(A)$$ Sono eventi (sottoinsiemi di $\Omega$), e ha senso calcolarne la probabilità.

Esempi: il numero di teste su $3$ lanci; il numero di carte di cuori in una mano di $5$ carte; l'istante del prossimo terremoto in California; il numero di persone che passano oggi alla stazione di Padova; l'ascissa del punto colpito a caso su un bersaglio circolare di raggio $1$ (può essere qualunque numero in $[-1, 1]$).

Variabili discrete e densità discreta

Definizione. $X$ è discreta se la sua immagine è un insieme finito o numerabile $\{x_0, x_1, x_2, \dots\}$. La densità discreta di $X$ è la funzione $p_X : \mathbb{R} \to [0, 1]$, $p_X(x) = P(X = x)$.

Proprietà. Se $X$ è discreta con valori $x_0, x_1, \dots$: $$\sum_k p_X(x_k) = 1, \qquad P(X \in A) = \sum_{k : x_k \in A}p_X(x_k)$$

(gli eventi $\{X = x_k\}$ sono disgiunti e la loro unione è $\Omega$). Quindi la densità discreta determina tutte le probabilità che riguardano $X$.

Esempio del prof. Tre lanci di una moneta, $\Omega$ = terne di $\{T, C\}$. $X_1$ = numero di teste: $\{X_1 = 1\} = \{(T, C, C), (C, T, C), (C, C, T)\}$. $X_2$ = $1$ se due lanci danno lo stesso risultato, $0$ altrimenti: con tre lanci e due sole facce due risultati coincidono sempre, quindi $\{X_2 = 0\} = \emptyset$.

La variabile di Bernoulli

Un esperimento di Bernoulli ha due esiti, successo e insuccesso: lanciare una moneta (successo = testa), un dado (successo = $6$), giocare a una lotteria, sostenere un esame.

Definizione. $X$ è di Bernoulli di parametro $p$, e si scrive $X \sim \operatorname{Be}(p)$, se $\operatorname{Im}X = \{0, 1\}$ con $$p_X(1) = p, \qquad p_X(0) = 1 - p$$

$X$ vale $1$ in caso di successo, $0$ altrimenti (è la "funzione indicatrice" del successo).

Attenzione alla notazione $\sim$. Si scrive $X \sim \operatorname{Be}(p)$ ("$X$ ha legge di Bernoulli"), non $X = \operatorname{Be}(p)$: due variabili possono avere la stessa legge ed essere diverse. Lanciando due volte una moneta e ponendo $X_i = 1$ se esce testa al lancio $i$, si ha $X_1 \sim \operatorname{Be}(p)$, $X_2 \sim \operatorname{Be}(p)$, ma in generale $X_1 \ne X_2$ (il primo lancio può dare testa e il secondo croce).

Esempio del prof. Due carte estratte insieme da un mazzo di $52$; $X = 1$ se c'è almeno una figura ($12$ figure), $0$ altrimenti. $P(X = 0) = \frac{\binom{40}2}{\binom{52}2} = \frac{780}{1326} = \frac{130}{221} \approx 0.588$, quindi $X \sim \operatorname{Be}\left(\frac{91}{221}\right)$.

La funzione di distribuzione

Definizione. La funzione di distribuzione (o di ripartizione) di una v.a. $X$ è $$F_X : \mathbb{R} \to [0, 1], \qquad F_X(x) = P(X \le x)$$

Vale per tutte le variabili aleatorie, non solo le discrete. Per una discreta, $F_X(x) = \sum_{x_k \le x}p_X(x_k)$: è una funzione a gradini, costante tra un valore e il successivo, con un salto di ampiezza $p_X(x_k)$ in ogni valore $x_k$.

Esempio (Bernoulli di parametro $\frac13$): $F(x) = 0$ per $x < 0$, $F(x) = \frac23$ per $0 \le x < 1$, $F(x) = 1$ per $x \ge 1$.

Esempio del prof (l'autobus). Un autobus passa a caso tra mezzogiorno e l'una; $T$ = istante di arrivo (in ore dopo mezzogiorno), con $P(T \in [a, b]) = b - a$ per $0 \le a \le b \le 1$. Allora $F_T(t) = 0$ per $t < 0$, $F_T(t) = P(0 \le T \le t) = t$ per $0 \le t \le 1$, $F_T(t) = 1$ per $t > 1$: una rampa continua, senza salti ($T$ non è discreta).

Proprietà della funzione di distribuzione.

1. $F_X$ è crescente (non decrescente);
2. $\lim_{x \to -\infty}F_X(x) = 0$, $\lim_{x \to +\infty}F_X(x) = 1$;
3. $F_X$ è continua a destra;
4. $P(X < a) = F_X(a^-) := \lim_{x \to a^-}F_X(x)$;
5. $P(X = a) = F_X(a) - F_X(a^-)$ (il salto in $a$).

Perché (con la continuità della probabilitàUna probabilità su Ω è P : eventi → [0,1] con P(∅) = 0, P(Ω) = 1 e σ-additività: P(⋃Aᵢ) = Σ P(Aᵢ) per eventi a due a due disgiunti (anche infiniti numerabili). Ne seguono additività finita, monotonia (E ⊆ F ⇒ P(E) ≤ P(F)), P(F∖E) = P(F) − P(E) e inclusione-esclusione. Esempi: pesi pₖ ≥ 0 con Σpₖ = 1 su spazi finiti o numerabili; la lunghezza su [0,1] e l'area sul quadrato; infiniti lanci di moneta. Continuità: per eventi crescenti P(⋃Eᵢ) = lim P(Eᵢ), per decrescenti P(⋂Eᵢ) = lim P(Eᵢ).Definizione assiomatica e continuità della probabilità →): la 1 perché $\{X \le x\} \subseteq \{X \le y\}$ per $x \le y$; la 2 perché $\{X \le -n\}$ decresce verso $\emptyset$ e $\{X \le n\}$ cresce verso $\Omega$; la 3 perché $\{X \le a + \frac1n\}$ decresce verso $\{X \le a\}$; la 4 perché $\{X \le a - \frac1n\}$ cresce verso $\{X < a\}$; la 5 è la differenza tra la 3 e la 4.

Corollario. Variabili con la stessa funzione di distribuzione hanno la stessa legge: $P(X \in A) = P(Y \in A)$ per ogni $A$.

Formule utili: $$P(a < X \le b) = F(b) - F(a), \quad P(a \le X \le b) = F(b) - F(a^-), \quad P(X > a) = 1 - F(a)$$

Esempio del prof. $$F_X(x) = \begin{cases} \frac14e^x & x < 0 \\ \frac14x^2 + \frac14 & 0 \le x < 1 \\ \frac34 + \frac{x - 1}{8} & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases}$$

• $P(X = 0) = F(0) - F(0^-) = \frac14 - \frac14 = 0$ (nessun salto in $0$);
• $P(X = 1) = F(1) - F(1^-) = \frac34 - \left(\frac14 + \frac14\right) = \frac14$;
• $P(X = 2) = F(2) - F(2^-) = 1 - \left(\frac34 + \frac18\right) = \frac18$;
• $P(X < 1) = F(1^-) = \frac12$.

Questa $X$ non è né discreta né continua: ha due salti e tratti in cui cresce con continuità (una variabile "mista").

Esercizi: Esercizio 48 · densità discrete e funzioni di distribuzione.

Errori comuni

• Confondere densità discreta e distribuzione: $p_X(x) = P(X = x)$ (le altezze dei salti), $F_X(x) = P(X \le x)$ (la somma cumulata).
• Dimenticare il salto nel calcolo di $P(X < a)$ o di $P(a \le X \le b)$.
• Scrivere $X = \operatorname{Be}(p)$ invece di $X \sim \operatorname{Be}(p)$.