Lezione 17Variabili aleatorie continue

Modulo: Probabilità, Lezione 7 ("Variabili aleatorie continue"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Definizione: l'analogia con le densità di massa; densità, $P(X = x) = 0$; caratterizzazione con la funzione di ripartizione; funzioni $C^1$ a tratti e continue; esercizi su densità e ripartizioni (normalizzazione, il pacco, una $F$ da completare); funzioni di una variabile continua ($e^{-3X+2}$).
2. Unità 2 - Uniforme ed esponenziale: uniforme su $[a, b]$ (la SIM); esponenziale come attesa del primo evento di un processo di Poisson; sportello postale, freezer, terremoti; assenza di memoria.
3. Unità 3 - Valore atteso e varianza: definizione come baricentro; il TIR; media di uniforme ed esponenziale; media e mediana; $E[g(X)]$ (la potenza dissipata); proprietà; varianza di uniforme ed esponenziale.

Teoria

• Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenzialeX è continua se esiste una densità fₓ ≥ 0 con P(X ∈ (a,b)) = ∫ₐᵇ fₓ e ∫R fₓ = 1; allora P(X = x) = 0 per ogni x, Fₓ(x) = ∫{−∞}^x fₓ, e se Fₓ è continua e C¹ a tratti X è continua con fₓ = Fₓ'. Uniforme U(a,b): densità 1/(b−a) su (a,b), P(X ∈ [c,d]) = (d−c)/(b−a). Esponenziale Exp(λ): tempo d'attesa del primo evento in un processo di Poisson, P(T > t) = e^{−λt}, densità λe^{−λt} per t > 0; è senza memoria: P(T > t + s | T > s) = P(T > t). Per Y = g(X) con g monotona si passa dalla funzione di distribuzione.Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale →
• Valore atteso e varianza di variabili continuePer X continua con densità fₓ: E[X] = ∫ x fₓ(x) dx (se |x| fₓ è integrabile in senso generalizzato), il baricentro della densità; E[g(X)] = ∫ g(x) fₓ(x) dx; Var[X] = E[X²] − E[X]². Valgono monotonia, linearità, Var[aX + b] = a² Var X, e Var[X + Y] = Var X + Var Y per indipendenti. U(a,b): media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Exp(λ): media 1/λ, varianza 1/λ² (deviazione standard = media); la mediana ln2/λ è minore della media.Valore atteso e varianza di variabili continue →

Esercizi

• Esercizio 52 · densità e funzioni di distribuzione continue — esempi della lezione, Ripassi 3.35 e 3.45
• Esercizio 53 · valori attesi e varianze di variabili continue — appello del 12/7/2017, Ripassi 3.43, esempi della lezione