Lezione 13Probabilità condizionata, Bayes e indipendenza

Modulo: Probabilità, Lezione 3 ("Probabilità condizionata"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Probabilità condizionata: motivazione (la carta, le previsioni del tempo); definizione; la condizionata è una probabilità, uniforme se lo è $P$; probabilità di un'intersezione (il radar); formula del prodotto (tre carte senza cuori, i compitini, un re per giocatore).
2. Unità 2 - Formule di inversione e della partizione: scirocco e acqua alta, petrolio e rublo; formula della partizione (il bus, due urne, lo smartphone, il parcheggio condominiale).
3. Unità 3 - La formula di Bayes: l'allergia ai gatti, le lampadine, il maggiordomo, la carta verde/arancione, il paradosso di Monty Hall, i test per il Covid-19.
4. Unità 4 - Indipendenza: due eventi indipendenti, complementari, estrazioni con e senza reimmissione, dipendenza dalla probabilità; tre eventi e famiglie; l'indipendenza a coppie non basta; prove ripetute; i dadi di Efron; indipendenza condizionata (scrigni, ombrelli, due monete).

Teoria

• Probabilità condizionata e formula del prodottoLa probabilità di E condizionata a F (con P(F) > 0) è P(E | F) = P(E ∩ F)/P(F): la probabilità di E "sapendo che F si è realizzato". E ↦ P(E | F) è a sua volta una probabilità; se P è uniforme, P(· | F) è uniforme su F. Ne seguono P(E ∩ F) = P(E | F) P(F) e la formula del prodotto P(A₁⋯Aₙ) = P(A₁) P(A₂ | A₁) P(A₃ | A₁A₂) ⋯ P(Aₙ | A₁⋯Aₙ₋₁), utile per le estrazioni successive.Probabilità condizionata e formula del prodotto →
• Formula della partizione e formula di BayesFormula di inversione: P(F | E) = P(E | F) P(F)/P(E). Formula della partizione (probabilità totale): se F₁, …, Fₙ sono una partizione di Ω con P(Fᵢ) > 0, P(E) = Σ P(E | Fᵢ) P(Fᵢ). Formula di Bayes: P(Fⱼ | E) = P(E | Fⱼ) P(Fⱼ) / Σ P(E | Fᵢ) P(Fᵢ): aggiorna la probabilità delle "cause" Fⱼ dopo aver osservato l'effetto E. Classici: test medici (con malattia rara un positivo è spesso un falso positivo), la carta verde/arancione (1/3, non 1/2), Monty Hall (conviene cambiare: 2/3).Formula della partizione e formula di Bayes →
• Eventi indipendenti e indipendenza condizionataA e B sono indipendenti se P(AB) = P(A)P(B), cioè (se P(B) > 0) P(A | B) = P(A): sapere B non cambia la probabilità di A. Se A, B sono indipendenti lo sono anche A e Bᶜ. Tre eventi sono indipendenti se lo sono a coppie E P(ABC) = P(A)P(B)P(C): l'indipendenza a coppie non basta. Prove ripetute indipendenti: le probabilità si moltiplicano. Indipendenza condizionata a F: P(AB | F) = P(A | F)P(B | F); non implica l'indipendenza (due lanci della stessa moneta scelta a caso). Eventi disgiunti con probabilità positive non sono mai indipendenti.Eventi indipendenti e indipendenza condizionata →

Esercizi

• Esercizio 42 · probabilità condizionata e formula del prodotto — dado truccato, radar, re, appello 2017/18
• Esercizio 43 · formula di Bayes e test diagnostici — Covid-19, presentazione del corso, parcheggio condominiale
• Esercizio 44 · partizione e Bayes dagli appelli — compitino 2015 e appelli 2014-2019
• Esercizio 45 · scrigni, ombrelli e tre dadi, indipendenza condizionata — esempi dell'Unità 4
• Esercizio 47 · probabilità condizionata e Bayes dai Ripassi — Ripassi 3.4, 3.9-3.16, 3.18-3.20, 3.22