Esercizio 43formula di Bayes e test diagnostici

Testo.

1. (Lezione 3 di probabilità.) Nei periodi di punta la malattia (Covid-19) colpisce mediamente $150$ persone ogni $100\,000$. Test antigenico rapido: sensibilità $P(\text{Positivo} \mid \text{Malato}) = 70\%$, specificità $P(\text{Negativo} \mid \text{Sano}) = 95\%$. (1) Una persona è positiva al tampone: qual è la probabilità che sia malata? (2) Una persona è negativa: qual è la probabilità che abbia la malattia? (3) Stesse domande con il test molecolare (sensibilità $91.8\%$, specificità $100\%$).
2. (Presentazione del corso.) Diffusione di una malattia: $5$ casi ogni milione di persone; se uno è sano il test è negativo al $99\%$; se uno è malato il test è positivo al $99.5\%$. Una persona fa il test, l'esito è positivo. Qual è la probabilità di avere la malattia?
3. (Lezione 3.) Un condominio ha $n \ge 3$ posti auto numerati da $1$ a $n$, uno per appartamento. L'italiano dell'appartamento $1$, che non ha ancora afferrato le regole, arriva per primo e parcheggia a caso. Seguono le auto dei posti $2, 3, 4, \dots$: vengono parcheggiate al loro posto se libero, altrimenti a caso. Qual è la probabilità che l'ultimo trovi il suo posto libero? (Suggerimento: farlo prima per $n = 3, 4$.)

Teoria: Formula della partizione e formula di BayesFormula di inversione: P(F | E) = P(E | F) P(F)/P(E). Formula della partizione (probabilità totale): se F₁, …, Fₙ sono una partizione di Ω con P(Fᵢ) > 0, P(E) = Σ P(E | Fᵢ) P(Fᵢ). Formula di Bayes: P(Fⱼ | E) = P(E | Fⱼ) P(Fⱼ) / Σ P(E | Fᵢ) P(Fᵢ): aggiorna la probabilità delle "cause" Fⱼ dopo aver osservato l'effetto E. Classici: test medici (con malattia rara un positivo è spesso un falso positivo), la carta verde/arancione (1/3, non 1/2), Monty Hall (conviene cambiare: 2/3).Formula della partizione e formula di Bayes →.

1. Il test per il Covid-19

Gli eventi. $M$ = "malato", $S = M^c$ = "sano", $+$ e $-$ gli esiti del test. Dati: $P(M) = \frac{150}{100\,000} = 0.0015$, $P(S) = 0.9985$; $P(+ \mid M) = 0.70$ (quindi $P(- \mid M) = 0.30$); $P(- \mid S) = 0.95$ (quindi $P(+ \mid S) = 0.05$).

L'albero (prodotti lungo i cammini):

(1) Per la formula di Bayes (la colonna "positivo"): $$P(M \mid +) = \frac{0.00105}{0.00105 + 0.049925} = \frac{0.00105}{0.050975} \approx 0.0206 = 2.1\%$$ Meno di un positivo su $40$ è davvero malato: i falsi positivi tra i tantissimi sani ($0.0499$) sono quasi $50$ volte i veri positivi ($0.00105$).

(2) Colonna "negativo": $$P(M \mid -) = \frac{0.00045}{0.00045 + 0.948575} \approx 0.00047 = 0.047\%$$ Il negativo è invece molto affidabile (prima del test la probabilità era $0.15\%$, dopo è un terzo).

(3) Test molecolare. $P(+ \mid M) = 0.918$, $P(+ \mid S) = 0$ (specificità $100\%$):

• $P(M \mid +) = \frac{0.918\cdot 0.0015}{0.918\cdot 0.0015 + 0} = 1$: un positivo è certamente malato (non esistono falsi positivi);
• $P(M \mid -) = \frac{0.082\cdot 0.0015}{0.082\cdot 0.0015 + 1\cdot 0.9985} \approx 0.00012 = 0.012\%$.

(Valori calcolati con Python.)

2. La malattia rarissima

$P(M) = 5\cdot 10^{-6}$, $P(+ \mid M) = 0.995$, $P(+ \mid S) = 1 - 0.99 = 0.01$. $$P(M \mid +) = \frac{0.995\cdot 5\cdot 10^{-6}}{0.995\cdot 5\cdot 10^{-6} + 0.01\cdot(1 - 5\cdot 10^{-6})} \approx \frac{4.975\cdot 10^{-6}}{0.0100050} \approx 0.0005 = 0.05\%$$ Nonostante il test sembri ottimo ($99\%$ e $99.5\%$), un positivo è malato solo $1$ volta su $2000$. Quando la malattia è molto più rara del tasso di falsi positivi, un test positivo è quasi sempre un falso positivo. Per questo nella pratica un positivo viene confermato con un secondo test più specifico.

3. Il parcheggio condominiale

$n = 3$. Il primo sceglie a caso tra i posti $1, 2, 3$ (probabilità $\frac13$ ciascuno), e si usa la formula della partizione sulla sua scelta:

• posto $1$: tutti gli altri trovano il proprio, l'ultimo compreso (ok);
• posto $3$: l'ultimo non trova il suo (no);
• posto $2$: l'auto $2$ trova occupato e sceglie a caso tra $1$ e $3$; l'ultimo trova il suo posto se l'auto $2$ sceglie l'$1$, con probabilità $\frac12$.

$$P = \frac13\cdot 1 + \frac13\cdot 0 + \frac13\cdot\frac12 = \frac12$$

$n = 4$. Il primo sceglie $1, 2, 3, 4$ con probabilità $\frac14$:

• posto $1$: ok; posto $4$: no;
• posto $3$: l'auto $2$ parcheggia al suo posto, l'auto $3$ trova occupato e sceglie a caso tra $1$ e $4$: ok con probabilità $\frac12$;
• posto $2$: l'auto $2$ sceglie a caso tra $1, 3, 4$. Se sceglie $1$: ok; se sceglie $4$: no; se sceglie $3$: l'auto $3$ sceglie tra $1$ e $4$, ok con $\frac12$. Quindi ok con probabilità $\frac13 + \frac13\cdot\frac12 = \frac12$.

$$P = \frac14\cdot 1 + \frac14\cdot 0 + \frac14\cdot\frac12 + \frac14\cdot\frac12 = \frac12$$

Caso generale: sempre $\frac12$. Chiunque debba scegliere a caso (perché trova il suo posto occupato) sceglie tra i posti liberi, che comprendono sempre il posto $1$ e il posto $n$ finché nessuno dei due è stato preso. Tre possibilità a ogni scelta casuale: prende il posto $1$ (da quel momento tutti trovano il proprio posto, e l'ultimo pure), prende il posto $n$ (l'ultimo resterà senza), oppure prende un altro posto (e il problema si ripresenta più avanti, con un nuovo "disturbatore"). Le prime due possibilità hanno sempre la stessa probabilità, e prima o poi una delle due accade (l'ultimo posto libero sarà o l'$1$ o l'$n$). Per simmetria la probabilità che venga occupato prima il posto $1$ è $\frac12$.

Errori comuni

• Rispondere con la sensibilità ($70\%$ o $99.5\%$) alla domanda "quanto è probabile essere malati se positivo".
• Dimenticare il ramo dei sani al denominatore di Bayes.
• Nel parcheggio, pensare che la probabilità dipenda da $n$: è sempre $\frac12$.