Esercizio 4unioni e intersezioni di aperti e chiusi

Testo (Esercizi per venerdì, settimana 1, fogli 4 e 6).

1. Unione qualunque di insiemi aperti in $\mathbb{R}^2$ è un insieme aperto: vero o falso? Provarlo. Cosa si può dedurre sui chiusi?
2. Intersezione finita di insiemi aperti in $\mathbb{R}^2$ è un insieme aperto: vero o falso? Provarlo. Cosa si può dedurre sui chiusi? Vale lo stesso per intersezione infinita?
3. (Foglio 6, "difficile, perderci tempo solo se appassionati".) Per insiemi non patologici $D$ (come quelli del corso) si ha $\partial(\partial D) = \partial D$. Più in generale si ha $\partial(\partial D) = \partial D \setminus \operatorname{int}(\partial D)$.

Teoria: Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in RnUn intorno di p è un insieme che contiene una palla centrata in p. p è interno a D se una palla B(p,δ[ sta tutta in D; D è aperto se ogni suo punto è interno, chiuso se il complementare è aperto. La frontiera ∂D è fatta dai punti i cui intorni toccano sia D sia il complementare; la chiusura è D ∪ ∂D, il più piccolo chiuso che contiene D. Unioni qualsiasi e intersezioni finite di aperti sono aperte.Insiemi aperti, chiusi, interno e frontiera in Rn →.

1. Unione qualunque di aperti: vero

Sia $\{A_i\}_{i \in J}$ una famiglia qualsiasi (anche infinita) di aperti e $A = \bigcup_i A_i$. Bisogna mostrare che ogni punto di $A$ è internoEsiste una pallina centrata nel punto tutta contenuta nell'insieme. ad $A$.

Se $p \in A$, allora $p$ appartiene ad almeno uno degli insiemi, diciamo $A_k$. Siccome $A_k$ è aperto, esiste $\delta > 0$ con $B(p, \delta[ \subseteq A_k$. Ma $A_k \subseteq A$ (l'unione contiene ciascun insieme), quindi $B(p, \delta[ \subseteq A$ ∎.

Sui chiusi. I chiusi sono i complementari degli aperti, e il complementare di un'unione è l'intersezione dei complementari (leggi di De MorganIl complementare di un'unione è l'intersezione dei complementari, e il complementare di un'intersezione è l'unione dei complementari.): $$\mathbb{R}^2 \setminus \bigcap_i C_i = \bigcup_i(\mathbb{R}^2 \setminus C_i)$$ Se i $C_i$ sono chiusi, a destra c'è un'unione di aperti, che è aperta: quindi $\bigcap_i C_i$ ha complementare aperto, cioè è chiuso. Un'intersezione qualsiasi di chiusi è chiusa.

2. Intersezione finita di aperti: vero; infinita: falso

Caso finito. Siano $A_1, \dots, A_m$ aperti e $p \in A_1 \cap \dots \cap A_m$. Per ogni $k$ esiste $\delta_k > 0$ con $B(p, \delta_k[ \subseteq A_k$. Prendiamo $$\delta = \min\{\delta_1, \dots, \delta_m\} > 0$$ (il minimo di un numero finito di numeri positivi è positivo). La palla $B(p, \delta[$ sta dentro ogni $B(p, \delta_k[$, quindi dentro ogni $A_k$, quindi nell'intersezione ∎.

Sui chiusi. Con De Morgan, $\mathbb{R}^2 \setminus (C_1 \cup \dots \cup C_m) = (\mathbb{R}^2 \setminus C_1) \cap \dots \cap (\mathbb{R}^2 \setminus C_m)$, intersezione finita di aperti: un'unione finita di chiusi è chiusa.

Caso infinito: falso. Controesempio: $$\bigcap_{n \ge 1}B\left(0, \frac1n\right[ = \{(0, 0)\}$$ Infatti l'origine sta in tutti i dischi, mentre un punto $p \ne 0$ non sta in $B(0, \frac1n[$ appena $\frac1n < |p|$ (per l'archimedeitàPer ogni numero reale esiste un naturale più grande: serve a trovare n con 1/n più piccolo di qualunque epsilon.Archimedeità di N → un tale $n$ esiste). Un punto solo non è aperto: nessuna pallina attorno all'origine è contenuta in $\{(0,0)\}$. La dimostrazione del caso finito si rompe perché $\inf\{\frac1n\} = 0$: non c'è un raggio positivo che vada bene per tutti.

Dualmente, un'unione infinita di chiusi può non essere chiusa: $$\bigcup_{n \ge 2}B\left(0, 1 - \frac1n\right] = B(0, 1[$$ (ogni punto con $|p| < 1$ sta in uno dei dischi chiusi, ma nessun punto del cerchio $|p| = 1$ ci sta), e il disco aperto non è chiuso.

3. La frontiera della frontiera

Fatto generale. Per ogni insieme $E$: $\partial E = \overline E \setminus \operatorname{int}(E)$ (un punto di frontiera è "vicino a $E$" ma non ha una pallina dentro $E$).

La frontiera è sempre chiusa. Se $p \notin \partial D$, allora $p$ è interno a $D$ o interno al complementare; in entrambi i casi una pallina $B(p, \delta[$ è tutta dentro $D$ o tutta fuori, e lo stesso vale per ogni punto di quella pallina (che ha a sua volta una pallina dentro la prima). Quindi il complementare di $\partial D$ è aperto.

Conclusione. Applicando il fatto generale con $E = \partial D$, che è chiuso ($\overline{\partial D} = \partial D$): $$\partial(\partial D) = \overline{\partial D} \setminus \operatorname{int}(\partial D) = \partial D \setminus \operatorname{int}(\partial D)$$ che è la formula del testo. Se la frontiera non ha punti interni, come accade per tutti gli insiemi del corso (la frontiera di un disco è un cerchio, quella di un poligono è una spezzata: insiemi "sottili"), allora $\partial(\partial D) = \partial D$.

Un insieme patologico. Per $D = \mathbb{Q}^2$ (i punti a coordinate razionali) ogni pallina contiene punti razionali e irrazionali, quindi $\partial D = \mathbb{R}^2$, che è tutto interno, e $\partial(\partial D) = \partial\mathbb{R}^2 = \emptyset \ne \partial D$. Si noti che $\mathbb{Q}^2$ non ha punti interni: non basta che $D$ sia privo di punti interni, serve che lo sia la sua frontiera.

Errori comuni

• Estendere la regola dell'intersezione agli infiniti insiemi: è falso, come mostra $\bigcap B(0, \frac1n[$.
• Pensare che i chiusi si comportino come gli aperti: per i chiusi è l'intersezione a essere sempre permessa e l'unione a dover essere finita.