Esercizio 40probabilità su spazi numerabili e continuità

Testo (Lezione 2 di probabilità, Unità 3-4).

1. Si fa una successione di estrazioni con reimmissione da un mazzo di carte. Ci si ferma se esce una figura (Jack, Regina, Re) o uno dei $4$ Assi. Qual è la probabilità di $E$ = "ci si ferma perché esce una figura"? (1) Sia $E_n$ = "all'$n$-esima estrazione esce una figura, ma fino alla $(n-1)$-esima né figura né asso": scrivere $E$ in termini degli $E_n$; (2) calcolare $P(E_n)$; (3) dedurre $P(E)$.
2. Sia $P$ la probabilità su $[0, 1]$ con $P([a, b]) = b - a$. (1) Sia $E = \left\{\frac{1}{n + 1} : n \in \mathbb{N}\right\}$: calcolare $P(E)$. (2) Calcolare $P(\mathbb{Q} \cap [0, 1])$.
3. Una moneta equilibrata viene lanciata infinite volte. Qual è la probabilità che esca sempre testa? E che prima o poi esca testa?

Teoria: Definizione assiomatica e continuità della probabilitàUna probabilità su Ω è P : eventi → [0,1] con P(∅) = 0, P(Ω) = 1 e σ-additività: P(⋃Aᵢ) = Σ P(Aᵢ) per eventi a due a due disgiunti (anche infiniti numerabili). Ne seguono additività finita, monotonia (E ⊆ F ⇒ P(E) ≤ P(F)), P(F∖E) = P(F) − P(E) e inclusione-esclusione. Esempi: pesi pₖ ≥ 0 con Σpₖ = 1 su spazi finiti o numerabili; la lunghezza su [0,1] e l'area sul quadrato; infiniti lanci di moneta. Continuità: per eventi crescenti P(⋃Eᵢ) = lim P(Eᵢ), per decrescenti P(⋂Eᵢ) = lim P(Eᵢ).Definizione assiomatica e continuità della probabilità →.

1. Ci si ferma per una figura o per un asso?

Le carte che contano. Su $52$ carte: $12$ figure (J, Q, K in $4$ semi), $4$ assi, $36$ altre carte. Ogni estrazione (con reimmissione, quindi sempre dallo stesso mazzo completo) dà figura con probabilità $\frac{12}{52}$, asso con $\frac4{52}$, altra carta con $\frac{36}{52}$; le estrazioni successive sono indipendenti (il modello degli infiniti lanci).

(1) Ci si ferma per una figura all'estrazione $n$ esattamente quando le prime $n - 1$ carte sono "altre" e l'$n$-esima è una figura. Gli eventi $E_n$ sono a due a due disgiunti (ci si ferma una sola volta) e $$E = \bigcup_{n \ge 1}E_n$$

(2) Le prime $n - 1$ estrazioni danno "altre carte" e l'$n$-esima una figura (si moltiplicano le probabilità delle estrazioni, come per le sequenze equiprobabili di $52^n$ esiti): $$P(E_n) = \left(\frac{36}{52}\right)^{n-1}\frac{12}{52}$$

(3) Per la $\sigma$-additività (serie geometrica di ragione $\frac{36}{52} < 1$): $$P(E) = \sum_{n \ge 1}\left(\frac{36}{52}\right)^{n-1}\frac{12}{52} = \frac{12}{52}\cdot\frac{1}{1 - \frac{36}{52}} = \frac{12}{52}\cdot\frac{52}{16} = \frac{12}{16} = \frac34$$

Interpretazione: le carte "altre" sono irrilevanti, si continua a pescare finché non esce una delle $16$ carte "decisive", e tra queste le figure sono $12$: $\frac{12}{16}$. (Lo stesso ragionamento dice che ci si ferma prima o poi con probabilità $\frac{12}{16} + \frac{4}{16} = 1$.)

2. Insiemi numerabili hanno lunghezza zero

(1) Ogni punto è un intervallo degenere: $P(\{x\}) = P([x, x]) = x - x = 0$. L'insieme $E = \left\{1, \frac12, \frac13, \dots\right\}$ è un'unione numerabile di punti distinti, quindi per la $\sigma$-additività $$P(E) = \sum_{n \ge 0}P\left(\left\{\tfrac{1}{n + 1}\right\}\right) = \sum_{n \ge 0}0 = 0$$

(2) $\mathbb{Q} \cap [0, 1]$ è numerabile (i razionali si possono elencare in una successione $q_0, q_1, \dots$), quindi allo stesso modo $P(\mathbb{Q} \cap [0, 1]) = 0$, e $P([0, 1] \setminus \mathbb{Q}) = 1$: scegliendo un punto a caso, è irrazionale con probabilità $1$.

3. Sempre testa?

Sia $E_i$ = "testa in ciascuno dei primi $i$ lanci". Per i primi $i$ lanci la probabilità è uniforme sulle $2^i$ sequenze, e solo una è tutta testa: $P(E_i) = \frac{1}{2^i}$. Gli $E_i$ sono decrescenti ($E_{i+1} \subseteq E_i$) e "sempre testa" $= \bigcap_i E_i$. Per la continuità sulle intersezioni decrescenti: $$P(\text{sempre testa}) = \lim_{i \to \infty}\frac1{2^i} = 0$$ "Prima o poi testa" è il complementare di "sempre croce", che per lo stesso motivo ha probabilità $0$: quindi $P(\text{prima o poi testa}) = 1$.

Errori comuni

• Sommare probabilità di eventi non disgiunti: gli $E_n$ dell'esercizio 1 sono costruiti apposta per essere disgiunti ("fino alla $(n-1)$-esima né figura né asso").
• Concludere che un evento di probabilità $0$ è impossibile: "sempre testa" è una sequenza possibile, ma ha probabilità $0$.