Esercizio 8elica, pendenza costante e lunghezza d'arco

Testo (Lezione 1, esercizio 6; è anche l'esercizio 1.2 dei Ripassi 2025/26). Sia $f(t) = (\cos t, \sin t, 3t)$, $t \in [0, 4\pi]$.

1. Abbozzare il sostegno di $f$;
2. calcolare la derivata $f'$ e provare che $f$ ha pendenza costante rispetto al piano $xy$ (cioè che $f'(t) \cdot (0, 0, 1)$ è costante);
3. calcolare la lunghezza di $f$;
4. riparametrizzare $f$ con la lunghezza d'arco.

Teoria: Derivata di una curva e retta tangenteLa derivata di f : I → Rⁿ è f'(t₀) = lim (f(t) − f(t₀))/(t − t₀) e si calcola componente per componente. Se f'(t₀) ≠ 0 è il vettore tangente (la velocità) e la retta tangente è f(t₀) + λ f'(t₀). Curva regolare: f' ≠ 0 ovunque. Approssimazione al prim'ordine: f(t) ≈ f(t₀) + f'(t₀)(t − t₀). Regole: linearità, prodotto per una funzione, (f·g)' = f'·g + f·g', catena (f∘u)' = f'(u) u'. Se |r(t)| è costante, r e r' sono ortogonali.Derivata di una curva e retta tangente →, Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva →, Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilineaf : I → Rⁿ e g : J → Rⁿ sono equivalenti se f = g∘φ con φ : I → J biiezione C¹ e φ' ≠ 0; curve equivalenti C¹ hanno la stessa lunghezza (anche se φ inverte il verso). L'ascissa curvilinea s = φ(t) = ∫ₐᵗ |f'(u)| du è la strada percorsa fino all'istante t: ds/dt = |f'(t)|, cioè "ds = |f'(t)| dt". Se f' ≠ 0, s è un cambio di parametro e g(s) = f(φ⁻¹(s)), s ∈ [0, L], percorre la curva a velocità 1.Parametrizzazioni equivalenti e ascissa curvilinea →.

1. Il sostegno

Le prime due componenti $(\cos t, \sin t)$ descrivono il cerchio unitario nel piano $xy$; la terza, $z = 3t$, cresce in modo uniforme. Il punto gira attorno all'asse $z$ salendo: è un'elica cilindrica, avvolta sul cilindro $x^2 + y^2 = 1$.

• Per $t \in [0, 4\pi]$ fa due giri completi ($4\pi = 2\cdot 2\pi$).
• Ogni giro sale di $3\cdot 2\pi = 6\pi \approx 18.8$ (il passo dell'elica).
• Parte da $f(0) = (1, 0, 0)$ e arriva in $f(4\pi) = (1, 0, 12\pi)$.

2. Derivata e pendenza costante

$$f'(t) = (-\sin t,\ \cos t,\ 3)$$ (componente per componente). Il prodotto scalare con il versore verticale $(0, 0, 1)$ estrae la componente $z$: $$f'(t)\cdot(0, 0, 1) = 3 \qquad \text{per ogni } t$$ costante. Siccome anche $|f'(t)| = \sqrt{\sin^2 t + \cos^2 t + 9} = \sqrt{10}$ è costante, l'angolo $\alpha$ tra la velocità e il piano orizzontale soddisfa $$\sin\alpha = \frac{f'(t)\cdot(0, 0, 1)}{|f'(t)|} = \frac{3}{\sqrt{10}} \quad\Longrightarrow\quad \alpha = \arcsin\frac{3}{\sqrt{10}} \approx 71.6°$$ uguale in ogni punto: la "strada" ha pendenza costante, come una rampa a spirale di un parcheggio.

3. La lunghezza

$$L = \int_0^{4\pi}|f'(t)|\,dt = \int_0^{4\pi}\sqrt{10}\,dt = 4\pi\sqrt{10} \approx 39.74$$

Controllo con lo "srotolamento". Aprendo il cilindro su un piano, un giro di elica diventa l'ipotenusa di un triangolo rettangolo con cateti $2\pi$ (il giro) e $6\pi$ (la salita): $\sqrt{4\pi^2 + 36\pi^2} = 2\pi\sqrt{10}$. Due giri: $4\pi\sqrt{10}$ ✓.

4. Riparametrizzazione con la lunghezza d'arco

La curva è regolareLa velocità f'(t) non si annulla mai: qui la sua norma vale sempre √10., quindi si può usare il metodo in tre passi.

Passo 1: ascissa curvilinea. $$s = \varphi(t) = \int_0^t|f'(u)|\,du = \int_0^t\sqrt{10}\,du = \sqrt{10}\,t$$

Passo 2: inversione. $t = \frac{s}{\sqrt{10}}$, con $s \in [0, L] = [0, 4\pi\sqrt{10}]$.

Passo 3: sostituzione. $$g(s) = f\left(\frac{s}{\sqrt{10}}\right) = \left(\cos\frac{s}{\sqrt{10}},\ \sin\frac{s}{\sqrt{10}},\ \frac{3s}{\sqrt{10}}\right), \qquad s \in [0, 4\pi\sqrt{10}]$$

Verifica: $g'(s) = \frac{1}{\sqrt{10}}\left(-\sin\frac{s}{\sqrt{10}},\ \cos\frac{s}{\sqrt{10}},\ 3\right)$, con norma $\frac{1}{\sqrt{10}}\sqrt{1 + 9} = 1$ ✓.

Perché è così semplice. Quando la velocità scalare è costante ($|f'| = v$), l'ascissa curvilinea è proporzionale al tempo ($s = vt$), e riparametrizzare significa solo "riscalare il tempo".

Errori comuni

• Dimenticare la terza componente nella norma: $|f'| = \sqrt{\sin^2 + \cos^2 + 9} = \sqrt{10}$, non $1$.
• Lasciare l'intervallo $[0, 4\pi]$ per il nuovo parametro: $s$ va da $0$ alla lunghezza $4\pi\sqrt{10}$.