Esercizio 11limiti di somme di Riemann

Testo.

1. (Lezione 1, Unità 4.) Calcolare $\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\frac1m\sum_{i=0}^{m-1}e^{(i+1)/m}$.
2. (Lezione 1, esercizio 7.) Calcolare $\displaystyle\lim_{k \to +\infty}\sum_{i=0}^{2k}\left(\frac ik\right)^3\frac1k$.

Teoria: Lunghezza di una curvaLa lunghezza di una curva è il sup delle lunghezze delle poligonali inscritte; se è finito la curva è rettificabile. Per una curva C¹: L(f) = ∫ₐᵇ |f'(t)| dt (velocità scalare integrata nel tempo). Casi particolari: grafico di h, L = ∫√(1 + h'²); coordinate polari ρ(t), L = ∫√(ρ² + ρ'²). Esempi: elica (cos t, sin t, t) su [0,2π] lunga 2π√2; cerchio percorso m volte lungo 2πmR; cardioide a(1 + cos t) lunga 8a. Esistono curve continue non rettificabili.Lunghezza di una curva → (paragrafo sulle somme di Riemann), Integrale definito di RiemannL'integrale definito di f limitata su [a,b] è il limite delle somme di Cauchy-Riemann (somme di aree di rettangoli), se esiste finito e uguale per ogni scelta dei punti; equivale a sup delle somme inferiori = inf delle somme superiori. Se f ≥ 0 è l'area del trapezoide, in generale area sopra l'asse meno area sotto. Sono integrabili le funzioni continue, monotone, continue a tratti; la funzione di Dirichlet no.Integrale definito di Riemann →.

Come si riconosce una somma di Riemann

Una somma di RiemannSomma di aree di rettangoli: base = ampiezza di un intervallino della suddivisione, altezza = valore della funzione in un punto di quell'intervallino. ha la forma $\sum g(\text{punto})\cdot(\text{ampiezza})$. Quando le ampiezze tendono a $0$ tende all'integrale. Per riconoscerla bisogna individuare tre cose:

1. l'ampiezza degli intervallini (il fattore che moltiplica tutto, qui $\frac1m$ o $\frac1k$);
2. i punti della suddivisione (quello che sta "dentro" la funzione, qui $\frac{i+1}m$ o $\frac ik$);
3. l'intervallo $[a, b]$: dal primo all'ultimo punto.

1. $\displaystyle\lim_{m \to +\infty}\frac1m\sum_{i=0}^{m-1}e^{(i+1)/m}$

• Ampiezza: $\frac1m$.
• Punti: $t_i = \frac im$, $i = 0, \dots, m$, che dividono $[0, 1]$ in $m$ parti uguali; nella somma la funzione è calcolata nell'estremo destro $t_{i+1} = \frac{i+1}m$ di ogni intervallino.
• Funzione: $g(x) = e^x$.
• Intervallo: per $i = 0$ il punto è $\frac1m$, per $i = m - 1$ è $\frac mm = 1$; gli intervallini coprono $[0, 1]$.

La somma è $\sum_{i=0}^{m-1}g(t_{i+1})(t_{i+1} - t_i)$, somma di Riemann di $e^x$ su $[0, 1]$ con passo $\frac1m \to 0$: $$\lim_{m \to +\infty}\frac1m\sum_{i=0}^{m-1}e^{(i+1)/m} = \int_0^1 e^x\,dx = e - 1 \approx 1.71828$$

Verifica numerica:

Le somme si avvicinano a $e - 1$ dall'alto: $e^x$ è crescente, e usando l'estremo destro di ogni intervallino si prende il valore più alto, quindi ogni rettangolo sporge sopra il grafico.

Si può anche fare a mano: è una somma geometricaLe serie di cui si conosce il carattere e da usare come termine di paragone: geometrica (converge a 1/(1-q) se |q|<1), telescopiche (somma b_1 - lim b_n, come Mengoli), armonica generalizzata (1/n^alpha converge se e solo se alpha>1).Serie notevoli - geometrica, telescopica, armonica → di ragione $q = e^{1/m}$, $$\frac1m\sum_{i=0}^{m-1}e^{(i+1)/m} = \frac{e^{1/m}}{m}\cdot\frac{e - 1}{e^{1/m} - 1} \xrightarrow[m \to \infty]{} e - 1$$ perché $m\,(e^{1/m} - 1) \to 1$ (limite notevole $\frac{e^x - 1}{x} \to 1$ con $x = \frac1m$) ed $e^{1/m} \to 1$. Il metodo delle somme di Riemann evita questo conto.

2. $\displaystyle\lim_{k \to +\infty}\sum_{i=0}^{2k}\left(\frac ik\right)^3\frac1k$

• Ampiezza: $\frac1k$.
• Punti: $t_i = \frac ik$; per $i = 0$ si ha $t_0 = 0$, per $i = 2k$ si ha $t_{2k} = \frac{2k}{k} = 2$. Quindi l'intervallo è $[0, 2]$, diviso in $2k$ parti di ampiezza $\frac1k$.
• Funzione: $g(x) = x^3$.

I termini con $i = 0, \dots, 2k - 1$ formano la somma di Riemann di $x^3$ su $[0, 2]$ con gli estremi sinistri; il termine in più, $i = 2k$, vale $2^3\cdot\frac1k = \frac8k \to 0$ e non cambia il limite. Quindi $$\lim_{k \to +\infty}\sum_{i=0}^{2k}\left(\frac ik\right)^3\frac1k = \int_0^2 x^3\,dx = \left[\frac{x^4}4\right]_0^2 = 4$$

Verifica numerica: con $k = 2000$ la somma vale $4.0020$ ✓.

Controllo con la formula delle potenze. $\sum_{i=0}^{n}i^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$, quindi con $n = 2k$ $$\frac{1}{k^4}\left(\frac{2k(2k + 1)}{2}\right)^2 = \frac{k^2(2k + 1)^2}{k^4} = \frac{(2k + 1)^2}{k^2} \to 4 \ ✓$$

Errori comuni

• Sbagliare l'intervallo: nel secondo limite $i$ arriva a $2k$, quindi i punti arrivano a $2$, non a $1$. L'integrale su $[0, 1]$ darebbe $\frac14$.
• Dimenticare l'ampiezza: senza il fattore $\frac1k$ la somma divergerebbe; è proprio lui a fare da "$dx$".