Esercizio 53valori attesi e varianze di variabili continue

Testo.

1. (Appello 3, 12 luglio 2017.) Si consideri la funzione $f(x) = 0$ se $x < 0$, $f(x) = c_1x$ se $0 \le x < 1$, $f(x) = \frac{c_2}{x^4}$ se $x > 1$. (a) Determinare i parametri $c_1$ e $c_2$ in modo che $f$ sia la densità di una variabile aleatoria $X$ di media $\mu = \frac32$. (b) Calcolare quindi la varianza di $X$.
2. (Ripassi 3.43 (a).) Un vecchio walkman funziona con una pila di tipo AAA; la durata in ore di una pila è una variabile continua $T$ con densità $f(t) = \frac{2}{25}t$ per $t \in [0, 5]$, $0$ altrimenti. Determinare valore atteso e varianza di $T$ (in frazioni).
3. (Lezione 7.) Sia $X \sim \operatorname{Exp}(\lambda)$, $\lambda > 0$. Calcolare $P(X \le 1/\lambda)$ e la mediana di $X$.
4. (Lezione 7.) Il credito residuo su una SIM ricaricata con $5$ euro è $X \sim U(0, 5)$; il tempo d'attesa del primo cliente a uno sportello è $T \sim \operatorname{Exp}(1/4)$ minuti. Calcolare media e deviazione standard di $X$ e di $T$, e $P(|X - E[X]| \le \sigma_X)$.

Teoria: Valore atteso e varianza di variabili continuePer X continua con densità fₓ: E[X] = ∫ x fₓ(x) dx (se |x| fₓ è integrabile in senso generalizzato), il baricentro della densità; E[g(X)] = ∫ g(x) fₓ(x) dx; Var[X] = E[X²] − E[X]². Valgono monotonia, linearità, Var[aX + b] = a² Var X, e Var[X + Y] = Var X + Var Y per indipendenti. U(a,b): media (a+b)/2, varianza (b−a)²/12. Exp(λ): media 1/λ, varianza 1/λ² (deviazione standard = media); la mediana ln2/λ è minore della media.Valore atteso e varianza di variabili continue →, Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenzialeX è continua se esiste una densità fₓ ≥ 0 con P(X ∈ (a,b)) = ∫ₐᵇ fₓ e ∫R fₓ = 1; allora P(X = x) = 0 per ogni x, Fₓ(x) = ∫{−∞}^x fₓ, e se Fₓ è continua e C¹ a tratti X è continua con fₓ = Fₓ'. Uniforme U(a,b): densità 1/(b−a) su (a,b), P(X ∈ [c,d]) = (d−c)/(b−a). Esponenziale Exp(λ): tempo d'attesa del primo evento in un processo di Poisson, P(T > t) = e^{−λt}, densità λe^{−λt} per t > 0; è senza memoria: P(T > t + s | T > s) = P(T > t). Per Y = g(X) con g monotona si passa dalla funzione di distribuzione.Variabili aleatorie continue - uniforme ed esponenziale →.

1. Due parametri dalla normalizzazione e dalla media

Due incognite, due condizioni.

Normalizzazione: $\int_0^1 c_1x\,dx + \int_1^{+\infty}\frac{c_2}{x^4}\,dx = \frac{c_1}{2} + c_2\left[-\frac{1}{3x^3}\right]_1^{+\infty} = \frac{c_1}2 + \frac{c_2}3 = 1$.

Media: $\int_0^1 c_1x^2\,dx + \int_1^{+\infty}\frac{c_2}{x^3}\,dx = \frac{c_1}3 + \frac{c_2}2 = \frac32$.

Sistema. Dalla prima $c_1 = 2 - \frac{2c_2}{3}$; sostituendo nella seconda: $$\frac23 - \frac{2c_2}{9} + \frac{c_2}{2} = \frac32 \iff c_2\left(\frac12 - \frac29\right) = \frac32 - \frac23 \iff \frac{5}{18}c_2 = \frac56 \iff c_2 = 3$$ e quindi $c_1 = 2 - 2 = 0$. La densità è $f(x) = \frac{3}{x^4}$ per $x > 1$ (nulla altrove): la parte su $[0, 1[$ sparisce. (Bisogna anche controllare $f \ge 0$: $c_1 = 0$ e $c_2 = 3 > 0$ ✓.)

(b) $E[X^2] = \int_1^{+\infty}x^2\cdot\frac{3}{x^4}\,dx = 3\int_1^{+\infty}\frac{dx}{x^2} = 3$, quindi $$\operatorname{Var}[X] = 3 - \frac94 = \frac34$$ (con $\frac{c_2}{x^3}$ al posto di $\frac{c_2}{x^4}$ la varianza sarebbe infinita: l'integrale di $x^2\cdot x^{-3}$ diverge. Le code contano).

2. La pila del walkman

Controllo: $\int_0^5\frac{2t}{25}\,dt = \frac{25}{25} = 1$ ✓. $$E[T] = \int_0^5\frac{2t^2}{25}\,dt = \frac{2\cdot 125}{75} = \frac{10}{3}, \qquad E[T^2] = \int_0^5\frac{2t^3}{25}\,dt = \frac{2\cdot 625}{100} = \frac{25}{2}$$ $$\operatorname{Var}[T] = \frac{25}{2} - \frac{100}{9} = \frac{225 - 200}{18} = \frac{25}{18}$$ La durata media di una pila è $3$ ore e $20$ minuti (le parti (b) e (c), sulla somma di $72$ pile, usano il teorema centrale del limiteSe X₁, X₂, … sono i.i.d. con media μ e varianza σ², la somma standardizzata (X₁ + ⋯ + Xₙ − nμ)/√(nσ²) tende in distribuzione a N(0,1): P(Sₙ ≤ a) ≈ Φ((a − nμ)/√(nσ²)) per n grande, qualunque sia la legge delle Xᵢ (servono indipendenza e stessa legge). Per la media campionaria: media μ, varianza σ²/n. Casi particolari: B(n,p) ≈ N(np, np(1−p)) per n grande; Po(λ) ≈ N(λ, λ) per λ ≥ 50. Per variabili a valori interi si usa la correzione di continuità: P(X ≤ k) ≈ P(Y ≤ k + 0.5), P(X = k) ≈ P(k − 0.5 ≤ Y ≤ k + 0.5).Teorema centrale del limite e correzione di continuità →).

3. Media e mediana dell'esponenziale

$$P\left(X \le \frac1\lambda\right) = 1 - e^{-\lambda\cdot\frac1\lambda} = 1 - e^{-1} \approx 0.632$$ indipendentemente da $\lambda$. Mediana: $1 - e^{-\lambda m} = \frac12 \iff m = \frac{\ln 2}{\lambda} \approx \frac{0.693}{\lambda}$, più piccola della media $\frac1\lambda$: il $63\%$ delle attese è più breve della media.

4. Media, deviazione standard e "una sigma"

• $X \sim U(0, 5)$: $E[X] = \frac52$, $\operatorname{Var}[X] = \frac{25}{12}$, $\sigma_X = \frac{5}{2\sqrt3} \approx 1.44$. Allora $P(|X - 2.5| \le 1.44) = \frac{2\cdot 1.44}{5} = \frac{1}{\sqrt3} \approx 0.577$.
• $T \sim \operatorname{Exp}\left(\frac14\right)$: $E[T] = 4$ minuti e $\sigma_T = 4$ minuti. La deviazione standard uguale alla media indica una grande variabilità relativa.

(Per una gaussiana la probabilità di stare entro una deviazione standard dalla media è circa $0.68$: vedi le variabili normaliZ ~ N(0,1) ha densità e^{−x²/2}/√(2π) (normalizzata grazie all'integrale di Gauss), media 0, varianza 1, funzione di distribuzione Φ tabulata per x ≥ 0, con Φ(−x) = 1 − Φ(x). X ~ N(μ, σ²) se (X − μ)/σ ~ N(0,1), cioè X = μ + σZ: media μ, varianza σ², densità e^{−(x−μ)²/(2σ²)}/√(2πσ²). Si calcola sempre standardizzando: P(X ≤ a) = Φ((a − μ)/σ). Regola 68-95-99.7: P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 0.683, ≤ 2σ ≈ 0.954, ≤ 3σ ≈ 0.997.Variabili aleatorie normali (gaussiane) →.)

Errori comuni

• Nel punto 1 dimenticare la condizione di normalizzazione e usare solo la media.
• Calcolare $\operatorname{Var}$ come $E[X^2] - E[X]$ invece di $E[X^2] - E[X]^2$.