Esercizio 28integrali doppi su rettangoli e domini semplici

Testo (Lezione 6, esempi ed esercizi; Ripassi 1.27).

1. Calcolare $\int_{[0,\pi/3]\times[0,\pi]}\sin(x + 3y)\,dx\,dy$.
2. Calcolare il volume del trapezoide di $\sqrt{x + y}$ su $[0, 2]\times[0, 2]$.
3. Integrare $f(x, y) = x$ su $D = \{(x, y) : x \in [0, 4],\ x \le y \le -x + 6\}$.
4. Sia $D = \{(x, y) : x \in [0, 1],\ \sqrt x \le y \le 1\}$. Calcolare $\int_D y^3\cos(xy)\,dx\,dy$.
5. Calcolare l'integrale $\int_D\frac{1}{y^{1/3}(1 + x^3)}\,dx\,dy$, $D = \{(x, y) : y^{1/3} \le x \le 3\}$.
6. Dato $D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x \in [0, \pi],\ \sqrt x \le y \le \sqrt\pi\}$, calcolare $\int_D\frac{\sin y^2}{y}\,dx\,dy$.
7. Calcolare $\int_D e^{x/y}\,dx\,dy$, ove $D = \left\{(x, y) : x \in [0, 3],\ \frac23x \le y \le 2x,\ y \le 2\right\}$.
8. Sia $D = \{(x, y) : x \in [-1, 1],\ x^2 \le y \le 1\}$. Calcolare il baricentro $(x_D, y_D)$ di $D$, dato da $x_D = \frac{\int_D x}{\operatorname{Area}(D)}$, $y_D = \frac{\int_D y}{\operatorname{Area}(D)}$.

Teoria: Integrali doppi e formule di riduzioneL'integrale doppio ∫_D f dx dy è il limite delle somme Σ f(cᵢ) Area(Aᵢ): per f ≥ 0 è il volume del trapezoide sotto il grafico; ∫_D 1 = Area(D). Si calcola con le formule di riduzione: su un rettangolo ∫∫ f = ∫ₐᵇ(∫_c^d f dy)dx = ∫_c^d(∫ₐᵇ f dx)dy; su un dominio semplice rispetto a x, D = {a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}, ∫D f = ∫ₐᵇ ∫{α(x)}^{β(x)} f dy dx (fette verticali), e analogamente per fette orizzontali. Scambiare l'ordine serve quando un integrale interno non ha primitiva elementare (sin y², e^{x²}).Integrali doppi e formule di riduzione →.

1. $\sin(x + 3y)$ sul rettangolo

Integrale interno in $y$ ($x$ fisso): una primitiva di $\sin(x + 3y)$ rispetto a $y$ è $-\frac{\cos(x + 3y)}{3}$ (si divide per il coefficiente $3$ di $y$). $$\int_0^\pi\sin(x + 3y)\,dy = \frac{-\cos(x + 3\pi) + \cos x}{3} = \frac{\cos x + \cos x}{3} = \frac23\cos x$$ perché $\cos(x + 3\pi) = \cos(x + \pi) = -\cos x$. Poi $$\int_0^{\pi/3}\frac23\cos x\,dx = \frac23\sin\frac\pi3 = \frac23\cdot\frac{\sqrt3}2 = \frac{\sqrt3}{3}$$

2. Volume sotto $\sqrt{x + y}$

$$\int_0^2\sqrt{x + y}\,dy = \frac23\Big[(x + y)^{3/2}\Big]_0^2 = \frac23\Big[(x + 2)^{3/2} - x^{3/2}\Big]$$ $$\int_0^2\frac23\Big[(x + 2)^{3/2} - x^{3/2}\Big]dx = \frac23\cdot\frac25\Big[(x + 2)^{5/2} - x^{5/2}\Big]_0^2 = \frac{4}{15}\big[32 - 4\sqrt2 - 4\sqrt2\big] = \frac{128 - 32\sqrt2}{15} \approx 5.516$$ (con $4^{5/2} = 32$ e $2^{5/2} = 4\sqrt2$, che compare due volte: in $x = 2$ come $x^{5/2}$ e in $x = 0$ come $(x + 2)^{5/2}$).

3. $x$ su $\{x \le y \le 6 - x\}$

Le due rette $y = x$ e $y = 6 - x$ si incontrano in $x = 3$; per $x > 3$ si avrebbe $x > 6 - x$ e la sezione è vuota. Quindi il dominio effettivo è il triangolo $x \in [0, 3]$, $x \le y \le 6 - x$ (vertici $(0,0)$, $(0, 6)$, $(3, 3)$): $$\int_0^3 x\,(6 - x - x)\,dx = \int_0^3(6x - 2x^2)\,dx = 27 - 18 = 9$$

4. $y^3\cos(xy)$: meglio a fette orizzontali

Con le fette verticali l'integrale interno $\int y^3\cos(xy)\,dy$ richiederebbe tre integrazioni per parti. Il dominio è anche semplice rispetto a $y$: $\sqrt x \le y$ equivale a $x \le y^2$, quindi $D = \{y \in [0, 1],\ 0 \le x \le y^2\}$. Integrando prima in $x$ (con $y$ fisso, una primitiva di $\cos(xy)$ in $x$ è $\frac{\sin(xy)}y$): $$\int_0^{y^2}y^3\cos(xy)\,dx = y^3\cdot\frac{\sin(y^3)}{y} = y^2\sin(y^3)$$ $$\int_0^1 y^2\sin(y^3)\,dy = \left[-\frac{\cos(y^3)}{3}\right]_0^1 = \frac{1 - \cos 1}{3} \approx 0.153$$

5. $\frac{1}{y^{1/3}(1 + x^3)}$

Il dominio $\{y^{1/3} \le x \le 3\}$: si intende $y > 0$ (dove l'integranda è definita senza problemi con $1 + x^3$; per $y \le 0$ la $x$ potrebbe essere $-1$ e il denominatore si annullerebbe). Con $y > 0$: $y^{1/3} \le x$ equivale a $y \le x^3$, quindi $D = \{x \in\, ]0, 3],\ 0 < y \le x^3\}$.

La funzione è positiva ed esplode per $y \to 0$: è un integrale generalizzato, e per il criterio delle funzioni positive basta che il calcolo dia un valore finito. A fette verticali: $$\int_0^{x^3}y^{-1/3}\,dy = \left[\frac32y^{2/3}\right]_0^{x^3} = \frac32x^2$$ (l'integrale improprio in $y = 0$ converge perché l'esponente $\frac13 < 1$). Poi $$\int_0^3\frac{\frac32x^2}{1 + x^3}\,dx = \frac12\Big[\log(1 + x^3)\Big]_0^3 = \frac12\log 28 \approx 1.666$$ Perché quest'ordine: a fette orizzontali servirebbe $\int\frac{dx}{1 + x^3}$, che si fa con i fratti semplici ma è lungo; a fette verticali compare $x^2$, la derivata (a meno di $3$) di $1 + x^3$.

6. $\frac{\sin y^2}{y}$

Il dominio: $x \in [0, \pi]$, $\sqrt x \le y \le \sqrt\pi$. A fette orizzontali: $y \in [0, \sqrt\pi]$ e $\sqrt x \le y \iff x \le y^2$, quindi $0 \le x \le y^2$. $$\int_0^{\sqrt\pi}\int_0^{y^2}\frac{\sin y^2}{y}\,dx\,dy = \int_0^{\sqrt\pi}y\sin y^2\,dy = \left[-\frac{\cos y^2}2\right]_0^{\sqrt\pi} = \frac{1 - \cos\pi}{2} = 1$$

7. $e^{x/y}$ (Ripassi 1.27)

Il dominio. Tra le rette $y = \frac23x$ e $y = 2x$, sotto $y = 2$. A fette orizzontali: $y \in [0, 2]$ e da $\frac23x \le y \le 2x$ segue $\frac y2 \le x \le \frac32y$ (il vincolo $x \le 3$ è automatico, perché $\frac32y \le 3$). La funzione è più facile da integrare in $x$ (con $y$ fisso l'esponente è lineare in $x$): $$\int_{y/2}^{3y/2}e^{x/y}\,dx = y\Big[e^{x/y}\Big]_{y/2}^{3y/2} = y\left(e^{3/2} - e^{1/2}\right)$$ $$\int_0^2 y\left(e^{3/2} - e^{1/2}\right)dy = 2\left(e^{3/2} - e^{1/2}\right) \approx 5.666$$ (il punto $y = 0$, dove $\frac xy$ non è definito, ha area nulla).

8. Baricentro della regione sotto $y = 1$ e sopra $y = x^2$

• $\operatorname{Area}(D) = \int_{-1}^1(1 - x^2)\,dx = 2 - \frac23 = \frac43$.
• $\int_D x = 0$: il dominio è simmetrico rispetto all'asse $y$ e $x$ è dispari. Quindi $x_D = 0$.
• $\int_D y = \int_{-1}^1\int_{x^2}^1 y\,dy\,dx = \int_{-1}^1\frac{1 - x^4}{2}\,dx = \frac12\left(2 - \frac25\right) = \frac45$.

$$(x_D, y_D) = \left(0,\ \frac{4/5}{4/3}\right) = \left(0,\ \frac35\right)$$ Il baricentro è più vicino al lato alto ($y = 1$) che al vertice basso, perché la regione è più larga in alto.

Errori comuni

• Non accorgersi che una sezione è vuota (esercizio 3, per $x > 3$).
• Insistere con l'ordine "naturale" quando l'integrale interno non è elementare o è molto lungo (esercizi 4, 5, 6).
• Dimenticare di dividere per l'area nel baricentro.