Lezione 12Probabilità uniforme e assiomi

Modulo: Probabilità, Lezione 2 ("Probabilità"), slide per prendere appunti.

Argomenti trattati

1. Unità 1 - Probabilità uniforme: casi favorevoli su casi possibili e quando ha senso; proprietà; esempi con carte, ripetizioni, dadi colorati, urne con e senza reimmissione, somma di due dadi, romanzi vicini, paradosso dei compleanni.
2. Unità 2 - Definizione di probabilità: perché la frequenza non basta; definizione assiomatica con la $\sigma$-additività; proprietà; inclusione-esclusione.
3. Unità 3 - Esempi di probabilità: pesi su spazi finiti e numerabili, la lunghezza su $[0, 1]$, l'area sul quadrato, infiniti lanci indipendenti; ci si ferma per una figura o per un asso.
4. Unità 4 - Continuità della probabilità: unioni crescenti e intersezioni decrescenti; l'asso di cuori prima o poi; sempre testa.

Teoria

• Probabilità uniforme su uno spazio finitoSu uno spazio campionario finito Ω con esiti equiprobabili la probabilità uniforme è P(A) = |A|/|Ω| (casi favorevoli su casi possibili); equivalentemente P({ω}) = 1/|Ω| per ogni esito. Gli eventi sono i sottoinsiemi di Ω. Proprietà: P(∅) = 0, P(Ω) = 1, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B), P(Aᶜ) = 1 − P(A). Scegliere Ω in modo che gli esiti siano davvero equiprobabili è una scelta di modello, non di matematica (dado con facce ripetute, somma di due dadi, paradosso dei compleanni).Probabilità uniforme su uno spazio finito →
• Definizione assiomatica e continuità della probabilitàUna probabilità su Ω è P : eventi → [0,1] con P(∅) = 0, P(Ω) = 1 e σ-additività: P(⋃Aᵢ) = Σ P(Aᵢ) per eventi a due a due disgiunti (anche infiniti numerabili). Ne seguono additività finita, monotonia (E ⊆ F ⇒ P(E) ≤ P(F)), P(F∖E) = P(F) − P(E) e inclusione-esclusione. Esempi: pesi pₖ ≥ 0 con Σpₖ = 1 su spazi finiti o numerabili; la lunghezza su [0,1] e l'area sul quadrato; infiniti lanci di moneta. Continuità: per eventi crescenti P(⋃Eᵢ) = lim P(Eᵢ), per decrescenti P(⋂Eᵢ) = lim P(Eᵢ).Definizione assiomatica e continuità della probabilità →

Esercizi

• Esercizio 39 · mani di poker, caffè a caso e la foto del matrimonio — mani di 5 carte, appelli del 5/9/2017 e del 2018/19
• Esercizio 40 · probabilità su spazi numerabili e continuità — esempi delle Unità 3 e 4
• Esercizio 46 · combinatoria e probabilità uniforme dai Ripassi — Ripassi 3.1-3.3, 3.5-3.8, 3.21