Esercizio 50approssimazione di Poisson dagli appelli e dai Ripassi

Testo.

1. (II compitino, 4 febbraio 2015, continua l'esercizio 49.) Un cromosoma muta in media in un caso su $10\,000$; popolazione di $20\,000$ persone. È ragionevole approssimare la probabilità che il cromosoma sia mutato su al massimo due persone con una variabile di Poisson $Y$? Di quale parametro? Esprimere l'approssimazione nella forma $a\,e^b$.
2. (Ripassi 3.24.) Una fabbrica produce bulloni con il $2\%$ di pezzi difettosi, venduti in confezioni da $100$ e sostituite se vi sono almeno $2$ bulloni difettosi. (a) Qual è una variabile aleatoria appropriata per contare i difettosi in una confezione? (b) Probabilità di dover sostituire una confezione? (c) Approssimarla con una Poisson.
3. (Ripassi 3.25.) In un negozio arrivano in media $14$ clienti alla settimana. (a) Associare la v.a. di Poisson che conta i clienti in $10$ giorni e trovarne la media; (b) probabilità che in $10$ giorni arrivino esattamente $20$ clienti.
4. (Ripassi 3.26.) Un individuo è allergico a un farmaco con probabilità $0.001$. (i) Probabilità che su $2000$ individui ve ne siano esattamente $3$ allergici, e almeno $3$ (solo formule); (ii) approssimarle con una Poisson.
5. (Ripassi 3.28.) La probabilità di vincere un premio in un concorso è $0.008$; una signora partecipa a $200$ concorsi indipendenti. (a) Probabilità di vincere esattamente $5$ premi? (b) Approssimarla con una variabile discreta opportuna.
6. (Ripassi 3.29.) Un canale trasmette $0$ e $1$: uno $0$ è ricevuto correttamente con probabilità $0.99$, un $1$ con probabilità $0.95$; l'$80\%$ delle cifre trasmesse è $1$. (a) Probabilità $p$ di errata ricezione di una cifra? (b) Si trasmettono $30$ cifre con errori indipendenti: quale v.a. conta gli errori? Probabilità di almeno $2$ errori? (c) È ragionevole approssimarla con una Poisson? Calcolare l'approssimazione.
7. (Ripassi 3.36 (a).) Sia $X \sim B(1000, p)$. Determinare $p$ sapendo che la distribuzione di $X$ si approssima con quella di una Poisson di parametro $2$.

Teoria: Variabile di Poisson e approssimazione della binomialeX ~ Po(λ), λ > 0, assume i valori 0, 1, 2, … con P(X = k) = e^{−λ} λᵏ/k!; λ è il numero medio di eventi. Nasce come limite della binomiale: se Xₙ ~ B(n, λ/n) allora P(Xₙ = k) → e^{−λ}λᵏ/k!. In pratica B(n,p) ≈ Po(np) se n è grande e p piccolo (regole del corso: n ≥ 20, p ≤ 0.05, p ≤ 10/n). Modella conteggi di eventi rari in un intervallo di tempo o spazio: telefonate, arrivi, terremoti, difetti, vincite.Variabile di Poisson e approssimazione della binomiale →, Somma di Poisson indipendenti e processo di PoissonSe X ~ Po(λ) e Y ~ Po(μ) sono indipendenti, X + Y ~ Po(λ + μ). Un processo di Poisson di intensità λ (eventi per unità di tempo) è una famiglia {Xₜ} in cui Xₜ ~ Po(λt) conta gli eventi in [0, t], gli incrementi X_{t+τ} − Xₜ ~ Po(λτ) dipendono solo dalla lunghezza τ dell'intervallo, e incrementi su intervalli disgiunti sono indipendenti. Quindi il numero di eventi in un intervallo non dipende da quanti ne sono avvenuti prima; la probabilità di nessun evento in un tempo τ è e^{−λτ}.Somma di Poisson indipendenti e processo di Poisson →.

Come si decide: si individua la binomiale $B(n, p)$ esatta; se $n \ge 20$, $p \le 0.05$ e $p \le \frac{10}n$ si approssima con $\operatorname{Po}(np)$. Valori calcolati con Python.

1. Il cromosoma

$X \sim B(20\,000, 10^{-4})$: $n$ enorme, $p$ minuscolo ($p = 10^{-4} \le \frac{10}{20\,000} = 5\cdot 10^{-4}$): l'approssimazione è ragionevole, con parametro $\lambda = np = 2$. $$P(X \le 2) \approx P(Y \le 2) = e^{-2}\left(1 + 2 + \frac{2^2}{2}\right) = 5\,e^{-2} \approx 0.6767$$ ($a = 5$, $b = -2$). Il valore esatto della binomiale coincide fino alla sesta cifra decimale.

2. I bulloni

(a) Ogni bullone è difettoso con probabilità $0.02$, indipendentemente: $X \sim B(100, 0.02)$.

(b) $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) = 1 - 0.98^{100} - 100\cdot 0.02\cdot 0.98^{99} \approx 0.5967$.

(c) $\lambda = 100\cdot 0.02 = 2$: $P(Y \ge 2) = 1 - e^{-2}(1 + 2) = 1 - 3e^{-2} \approx 0.5940$.

3. I clienti del negozio

(a) Gli arrivi sono un processo di Poisson con intensità $\frac{14}{7} = 2$ clienti al giorno; in $10$ giorni il numero di clienti è $\operatorname{Po}(20)$: $$P(X = k) = e^{-20}\frac{20^k}{k!}, \quad k = 0, 1, \dots, \qquad \text{media } 20$$

(b) $P(X = 20) = e^{-20}\frac{20^{20}}{20!} \approx 0.0888$.

4. L'allergia al farmaco

(i) $X \sim B(2000, 0.001)$: $$P(X = 3) = \binom{2000}{3}(0.001)^3(0.999)^{1997}, \qquad P(X \ge 3) = 1 - \sum_{k=0}^{2}\binom{2000}{k}(0.001)^k(0.999)^{2000-k}$$ (valori $\approx 0.1805$ e $\approx 0.3233$).

(ii) $\lambda = 2$: $P(Y = 3) = e^{-2}\frac{8}{6} = \frac43e^{-2} \approx 0.1804$; $P(Y \ge 3) = 1 - 5e^{-2} \approx 0.3233$.

5. I concorsi del supermercato

(a) $X \sim B(200, 0.008)$: $P(X = 5) = \binom{200}{5}(0.008)^5(0.992)^{195} \approx 0.0174$.

(b) $\lambda = 200\cdot 0.008 = 1.6$: $P(Y = 5) = e^{-1.6}\frac{1.6^5}{5!} \approx 0.0176$.

6. Il canale di comunicazione

(a) Partizione sulla cifra trasmessa: un errore si ha se si trasmette $0$ ($0.2$) e lo si riceve male ($0.01$), o se si trasmette $1$ ($0.8$) e lo si riceve male ($0.05$): $$p = 0.2\cdot 0.01 + 0.8\cdot 0.05 = 0.002 + 0.04 = 0.042$$

(b) Gli errori su $30$ cifre: $X \sim B(30, p)$. $$P(X \ge 2) = 1 - (1 - p)^{30} - 30\,p\,(1 - p)^{29} \approx 0.361$$

(c) $n = 30 \ge 20$, $p = 0.042 \le 0.05$ e $p \le \frac{10}{30}$: l'approssimazione è ammissibile (anche se $n$ non è grandissimo). Con $\lambda = 30p = 1.26$: $$P(Y \ge 2) = 1 - e^{-30p}(1 + 30p) = 1 - 2.26\,e^{-1.26} \approx 0.359$$

7. Il parametro dall'approssimazione

$B(1000, p) \approx \operatorname{Po}(np)$ con $np = 1000\,p = 2$, quindi $p = 0.002$ (piccolo, e $n$ grande: l'approssimazione ha senso). La seconda parte dell'esercizio (approssimazione normale) è nell'esercizio sull'approssimazione normale.

Errori comuni

• Nel negozio usare $\lambda = 14$: il parametro va riferito ai $10$ giorni richiesti.
• Approssimare con la Poisson senza verificare che $p$ sia piccolo.